Question

Na figura abaixo a medida de AB e 60% maior que a medida do raio da circunferência de centro 0. Determine tangente de Alfa.

Answer 1

Pelo enunciado, a medida de AB é 60% maior que a medida do raio (r) da circunferência. Desse modo, podemos escrever:

$AB = r + 60\%\cdot r=r+0,6r\\\\ AB = 1,6 r$

Além disso, podemos ver pela figura que $OA = OB = r$.

Agora, para obtermos uma relação com o ângulo $\alpha$ da figura, podemos utilizar a Lei dos Cossenos no triângulo AOB:

$a^2 = b^2+c^2-2bc\cos(\theta)\\\\ AB^2 = OA^2+OB^2-2\cdot OA\cdot OB\cdot \cos(\alpha)\\\\ (1,6r)^2 = r^2+r^2-2\cdot r\cdot r\cdot \cos(\alpha)\\\\ 2,56r^2 = 2r^2-2r^2\cos(\alpha)\\\\ 2,56r^2 = 2r^2(1-\cos(\alpha))~~~~~~~~~~~~(\div 2r^2)\\\\ 1,28 = 1-\cos(\alpha)\\\\ \boxed{\cos(\alpha) = -0,28}$

Pelo Teorema Fundamental da Trigonometria:

$\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1\\\\ \sin^2(\alpha) + (-0,28)^2 = 1\\\\ \sin^2(\alpha) + 0,0784 = 1\\\\ \sin^2(\alpha) = 0,9216\\\\ \sin(\alpha) = \pm\sqrt{0,9216}~~~~~~~~~~~~~(\alpha \ \textless \ 180^o)\\\\ \sin(\alpha) = \sqrt{0,9216}\\\\ \boxed{\sin(\alpha) = 0,96}$

Podemos, então, calcular o valor da tangente do ângulo:

$\tan(\alpha) = \dfrac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}\\\\ \tan(\alpha) = \dfrac{0,96}{-0,28}\\\\ \boxed{\boxed{\tan(\alpha) \approx - 3,43}}$

Portanto, a tangente do ângulo α é aproximadamente igual a - 3,43.

Answer 2

Boa tarde

AB = 1.6r

Teorema do cossenos

(1,6r)² = r² + r² - 2r²*cos(α)

cos(α) = -0.28

α = acos(-0.28) = 106.3°

tg(α) = tg(106.3) = 3.41973