Question

na figura abaixo, a medida AB é 60% maior que a medida do raio dá circunferência de centro O. determine a tg

Answer 1

$AB=160\%R\\ AB=1,6R$
Cortanto o ângulo α em 2 forma-se dois triângulos retângulos, AOX e BOX, cujas alturas são
$\frac{AB}{2} = \frac{1,6R}{2} = 0,8R$
Os lados AO e BO passam a ser a hipotenusa. Como AO=BO=R temos
$AO^2=XO^2+AX^2\\ R^2=XO^2+(0,8R)^2\\ R^2-0,64R^2=XO^2\\ 0,36R^2=XO^2\\ XO=0,6R$

Tendo a=R, b=0,8R e c=0,6R podemos achar o seno e cosseno do ângulo
$senx=\frac{cateto \ oposto}{hipotenusa}\\\\ AX=0,8R\\ senx= \frac{0,8R}{R} \\ senx= \frac{0,8}{1}\\ senx= \frac{4}{5} \\\\ cosx= \frac{cateto \ adjacente}{hipotenusa}\\\\ XO=0,6R\\ cosx= \frac{0,6R}{R} \\ cosx= \frac{0,6}{1}\\ cosx= \frac{3}{5}$

Porém como o ângulo α foi divido em 2 
$\alpha=\frac{x}{2}\\ 2\alpha=x$

Com as fórmulas dos arcos duplos temos:
$senx=2senx*cosx\\ sen2x=2*\frac{4}{5}* \frac{3}{5}\\ sen2x= \frac{24}{25}\\\\ cos2x= cos^2x-sen^2x\\\\ cos2x= \frac{3}{5}^2 -\frac{4}{5}^2\\\\\ cos2x= -\frac{7}{25}$
$sen\alpha=\frac{24}{25}\\\\ cos\alpha=-\frac{7}{25}$

Por fim:
$tg\alpha=\frac{sen\alpha}{cos\alpha}\\\\ tg\alpha=\frac{\frac{24}{25}}{\frac{-7}{25}}\\\\ tg\alpha={\frac{24}{25}}*{\frac{25}{-7}}\\\\ tg\alpha= -\frac{24}{7}$