Na figura abaixo, a malha quadriculada é formada por figuras geométricas de mesmo tamanho cujos lados representam ruas de determinado bairro onde o deslocamento dos automóveis só é permitido no sentido leste ou norte. Nessas condições, o menor percurso para ir de A (academia) até C (casa), sem passar por B (banco), pode ser feito por um número máximo de formas distintas igual a: A) 112 B) 147 C) 252 D) 70 E) 25
Soluções para a tarefa
Usando o conceito de permutação por repetição a resposta será A) 112.
Consideramos esse problema como a análise combinatória por permutação com repetição, onde temos diversas combinações possíveis de um conjunto com 2 dados diferentes, movimentos para a direita e para cima.
Vamos calcular a quantidade de caminhos que passam por B subtraindo do total de caminhos que podem ser feitos (conjunto com 10 elementos).
As possibilidades de passar por B são uma multiplicação entre dois conjuntos, de A até B (com 8 elementos - 4 Norte e 4 Leste) e de B até C (com 2 elementos - 1 Leste e 1 Norte):
P⁴ ⁴ ₈ (AB) = 8!/ (4! * 4!) = 70 possibilidades
P¹ ¹ ₂ (BC) = 2!/ (1! * 1!) = 2 possibilidades
P (ABC) = P(AC) * P(BC) = 70* 2
P (ABC) = 140 possibilidades
Já para o conjunto total de caminhos podem ser percorridos, teremos 10 elementos com 5 caminhos para o Leste e 5 para o Norte.
P (AC) = P⁵ ⁵ ₁₀ = 10!/ (5! * 5!) = 252 possibilidades
Ou seja, o total de de caminhos entre A e C, sem que passe por B será de:
P = P(AC) - P(AB) = 252 - 140 = 112 caminhos
Espero ter ajudado!