Question

Na figura a seguir vemos um retângulo ABCD de base AB=15cm e altura BC=10cm. Os pontos P, Q, R e T dividem a diagonal AC em cinco partes iguais. Determine a área do quadrilátero DPBT.

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Answer 1

Perceba que o quadrilátero DPBT é um losango. A área de um losango é o produto entre suas diagonais dividido por 2:

Área DPBT = (DB).(PT)/2

DB é diagonal do retângulo ABCD. A medida DB pode ser encontrada através do teorema de Pitágoras:

DB² = AB² + AD²

O enunciado informa que AB = 15 cm. Além disso, o enunciado informa que BC = 10 cm. Como AD = BC, então AD = 10 cm. Portanto, fica:

DB² = 15² + 10²

DB² = 225 + 100

DB² = 325

DB = √325

DB = √(5².13)

DB = 5√13 cm

Agora que temos a medida DB, falta encontrar a medida PT.

Observe que AC = DB. Portanto, AC = 5√13 cm.

Como os pontos P, Q, R e T dividem a diagonal AC em 5 partes iguais, podemos afirmar que a distância entre cada ponto é √13 cm — basta dividir 5√13 por 5:

AP = PQ = QR = RT = TC = √13 cm

A diagonal PT é a soma das medidas PQ, QR e RT:

PT = PQ + QR + RT

PT = √13 + √13 + √13

PT = 3√13 cm

Assim, a área do quadrilátero DPBT é:

Área DPBT = (DB).(PT)/2

Área DPBT = (5√13).(3√13)/2

Área DPBT = (15.13)/2

Área DPBT = 195/2 cm²

Área DPBT = 97,5 cm²