Question

Na figura a seguir, um trapézio foi representado em um plano cartesiano.

Sabe-se que B = (-2, -3) , C = (-7, -3) , D = (-7, 1) e E = (-7/2, 0)


DETERMINE a área do trapézio ABCD.

A) 36

B) 23

C) 16

D) 17

Answer 1

Como a coordenada do ponto A não foi dada, é preciso descobri-la. Apenas olhando para a figura pode-se inferir que a coordenada y é 1 (na mesma linha de D).

Como A está na mesma direção do segmento $\overline{BE}$, pode-se encontrar a equação da reta que representa este segmento e encontrar a intersecção com a reta y = 1.

A função afim ou equação da reta é dada por:

$y = a\cdot x + b$

Onde a é o coeficiente angular e b é o coeficiente linear.

Quando x = -2, y = -3:

$-3 = -2 \cdot a + b$

$b = -3 + 2 \cdot a$

Quando x = -7/2, y = 0:

$0 = -\dfrac{7}{2} \cdot a +b$

$0 = -\dfrac{7}{2} \cdot a -3 + 2 \cdot a$

$3 = -\dfrac{7}{2} \cdot a+ \dfrac{4}{2} \cdot a$

$3 = -\dfrac{3}{2} \cdot a$

$a = -\dfrac{3 \cdot 2}{3}$

$a = -2$

Encontrando b:

$b = -3 + 2 \cdot a$

$b = -3 + 2 \cdot (-2)$

$b = -3 -4$

$b = -7$

Assim, a reta é definida por:

$y = -2 \cdot x - 7$

Para descobrir a coordenada x do ponto A, basta substituir y por 1:

$1 = -2 \cdot x - 7$

$1+7 = -2 \cdot x$

$8 = -2 \cdot x$

$x = -\dfrac{8}{2}$

$x = -4$

Logo o ponto A está localizado em: A = (-4,1).

Para calcular a área, basta dividir a figura em um retângulo e um triângulo retângulo e então calcular as áreas das duas figuras individualmente para então somar no final.

O retângulo é formado entre x = -7 e x = -4, assim como entre y = -3 e y = 1. Sua área será:

$A_r = (-4-(-7)) \cdot (1-(-3))$

$A_r = (-4+7) \cdot (1+3)$

$A_r = 3 \cdot 4$

$A_r = 12$

Já o triângulo tem base entre x = -4 e x = -2 e altura entre y = -3 e y = 1. Assim, a área do triângulo é:

$A_t = \dfrac{(-2-(-4)) \cdot (1-(-3))}{2}$

$A_t = \dfrac{(-2+4) \cdot (1+3)}{2}$

$A_t = \dfrac{2 \cdot 4}{2}$

$A_t = \dfrac{8}{2}$

$A_t = 4$

Ou seja, a área total será:

$A = A_r + A_t$

$A = 12 + 4$

$\boxed{A = 16}$

Alternativa C)