Question

Na figura a seguir, um quadrado de lado 12 cm está inscrito na circunferência. Exterior a cada lado desse quadrado, tem-se uma semicircunferência cujo centro é o ponto médio do lado, sendo portanto seu raio igual a 6 cm. Considerando as informações apresentadas, determine a área hachurada:

Answer 1

Veja que se retirarmos os 4 semicírculos a figura que resta é um quadrado inscrito em uma circunferência (veja a imagem) Queremos então calcular a parte que eu risquei nessa imagem, que corresponde a área da circunferência menos a área do quadrado.

O raio dessa circunferência é exatamente a metade da diagonal do quadrado  de lado 12 inscrito. Sendo D a diagonal e r o raio, temos:

$D = l\sqrt2\\D= 12\sqrt2$

$r = \dfrac{D}2 = \dfrac{12\sqrt2}2 = 6\sqrt2$

Agora vamos calcular a área riscada.

$A_C - A_Q= \pi r^2 - l^2 = \pi.(6\sqrt2)^2 - 12^2 = 72\pi - 144$

Veja que as semicircunferências, se retiradas e unidas, formam exatamente 2 circunferências completas, cujos raios são metade do lado do quadrado, ou seja 6. A área de todas elas é então:

$A = 4 \pi r^2\\A = 4 \pi 6^2\\A = 144 \pi$

E por fim, a área hachurada é exatamente a subtração da área das circunferências e a área riscada.

$144\pi - (72\pi - 144)\\72\pi + 144$

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