Question

Na figura a seguir um círculo de raio 1 rola da posição I para posição F, sempre tangenciando o cateto \bar{AC} do triângulo ABC Na posição I o círculo também tangencia \bar{AB} e na posição F ele é tangente a \bar{BC}. Os lados do triângulo medem AB = 6 cm, AC = 8cm e BC = 10cm.
A distância percorrida pelo centro do círculo, em centímetros, é igual a:

a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 7

Answer 1

Inicialmente, vamos chamar aos centros dos círculos de I para o que está na posição I e de I' para o seu ponto de tangência sobre o lado AC do triângulo. Da mesma maneira, vamos chamar de F o centro do círculo que está na posição F e de F' o ponto de tangência sobre o lado AC.
Assim, a distância pedida é a distância entre os centros dos círculos (segmento IF) ou a distância entre os pontos de tangência destes círculos sobre o lado AC (I'F').
Esta distância será igual ao lado AC do triângulo, menos o segmento AI' e menos o segmento F'C:
I'F' = AC - AI' - F'C (1)
Precisamos, então, obter o valor dos segmentos AI' e F'C:
- AI' é igual ao raio do círculo, que é 1 cm;
- F'C: este segmento é cateto do triângulo retângulo FF'C. Neste triângulo, conhecemos o cateto FF', que é igual ao raio do círculo (1 cm) e podemos obter o valor do ângulo FCF', pois ele é a metade do ângulo ACB.
O ângulo ACB (α) pode ser obtido através da função trigonométrica tangente, pois conhecemos o cateto oposto a este ângulo (AB) e também o cateto adjacente a ele (AC):
tg α = AB ÷ AC 
tg α = 6 ÷ 8
tg α = 0,75
α = 36,87º
Então, o ângulo FCF' é igual a 
α/2 = 18,435º
Vamos agora resolver o triângulo retângulo FF'C, para obtermos o valor do segmento F'C:
Usando novamente a função trigonométrica tangente a este triângulo, obteremos:
tg α/2 = 1 ÷ F'C
tg 18,435º = 1 ÷ F'C
F'C = 1 ÷ tg 18,435º
F'C = 1 ÷ 0,333
F'C = 3,00 cm
Substituindo os valores obtidos para AI' e para F'C em (1), temos, finalmente:
I'F' = 8 - 1 - 3
I'F' = 4 cm, distância percorrida pelo centro do círculo