Question

Na figura a seguir , todos os triângulos são equiláteros e o triângulo externo possui lado igual a L.

sabendo-se que os vértices do triângulo interno estão sobre o ponto médio de cada um dos lados do triângulo externo , qual é o valor da altura h do triângulo interno ?

Answer 1

Esse triângulo equilátero de lado $\text{L}$ foi dividido em $4$ triângulos equiláteros iguais, estes de lado $\dfrac{\text{L}}{2}$

Isso acontece porque os vértices do triângulo interno são os pontos médios dos lados do triângulo externo.

Como o lado do triângulo interno mede metade do lado do triângulo externo e essa razão de semelhança deve permanecer, podemos afirmar que a altura do triângulo interno é igual a metade da altura do triângulo externo.

A altura de um triângulo equilátero de lado $\text{L}$ é $\dfrac{\text{L}\sqrt{3}}{2}$. Logo, a altura do triângulo interno mede $\dfrac{\frac{\text{L}\sqrt{3}}{2}}{2}=\dfrac{\text{L}\sqrt{3}}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\boxed{\dfrac{\text{L}\sqrt{3}}{4}}$


Outra resposta: 

Você pode resolver utilizando o Teorema de Pitágoras (veja a imagem em anexo):

$\left(\dfrac{\text{L}}{2}\right)^2=\text{h}^2+\left(\dfrac{\text{L}}{4}\right)^2$

$\dfrac{\text{L}^2}{4}=\text{h}^2+\dfrac{\text{L}^2}{16}$

$4\text{L}^2=16\text{h}^2+\text{L}^2 \iff 16\text{h}^2=3\text{L}^2$

$\text{h}^2=\dfrac{3\text{L}^2}{16} \iff \text{h}=\sqrt{\dfrac{3\text{L}^2}{16}}$

$\text{h}=\dfrac{\text{L}\sqrt{3}}{4}$