Question

Na figura a seguir temos um quadrado ABCD de lado 9cm e o ponto E divide o segmento 
DC na razão 2:1 de modo de EC=3cm. Calcule a área do triângulo AEF.

Sugestão: Mostre que os triângulos ABF e CEF são semelhantes e suas alturas medem, respectivamente, 6,75cm e 2,25cm.

Answer 1

Os triângulos ΔABF e ΔCEF são semelhantes.

Segue abaixo a definição de semelhança de triângulos:

"Dois triângulos são semelhantes se os três ângulos são ordenadamente congruentes e se os lados homólogos são proporcionais.".

Vamos considerar que a altura do triângulo ΔCEF é x. Então, a altura do triângulo ΔABF é igual a 9 - x.

Dito isso, temos que:

$\frac{3}{x}=\frac{9}{9-x}$

Multiplicando cruzado:

9x - 27 - 3x

12x = 27

x = 2,25 cm

Logo, a altura do triângulo ΔABF é igual a 9 - 2,25 = 6,75 cm.

Perceba que a área do triângulo ΔAEF é igual a área do triângulo ΔAEB menos a área do triângulo ΔABF.

Sabendo que a área do triângulo é igual a metade do produto da base pela altura, temos que:

$S = \frac{9.9}{2} - \frac{9.6,75}{2}$

S = 40,5 - 30,375

S = 10,125

ou seja, a área do triângulo ΔAEF é, aproximadamente, igual a 10,13 cm².