Question

Na figura a seguir tem-se um quadrado inscrito em outro quadrado.

Pode-se calcular a área do quadrado interno, subtraindo-se da área do quadrado externo as áreas dos 4 triângulos. Feito isso, verifica-se que A é uma função da medida x. O valor mínimo de A é:

a) 16cm²
b) 24cm²
c) 28cm²
d) 32cm²
e) 48cm²

Answer 1

O lado do quadrado externo mede $\mathtt{L=8~cm.}$ Logo, a área desse quadrado maior é

$\mathtt{L^2=8^2=64~cm^2}$


A área de um triângulo retângulo amarelo é

$\mathtt{A_1=\dfrac{x\cdot (8-x)}{2}}$


A área do quadrado interno é a diferença entre a área do quadrado externo e as somas das áreas dos quatro triângulos retângulos (em amarelo na figura em anexo):

$\mathtt{A(x)=64-4\cdot A_1}\\\\ \mathtt{A(x)=64-4\cdot \dfrac{x\cdot (8-x)}{2}}\\\\\\ \mathtt{A(x)=64-2x(8-x)}\\\\ \mathtt{A(x)=64-16x+2x^2\quad\quad}\texttt{onde }\mathtt{0<x<8}$


______

Queremos minimizar a função nesse intervalo. Vamos encontrar as coordenadas do vértice da parábola:

$\mathtt{A(x)=64-16x+2x^2}\quad\Rightarrow\quad\left\{ \!\begin{array}{l} \mathtt{a=2}\\\mathtt{b=-16}\\\mathtt{c=64} \end{array} \right.$


Abscissa do vértice:

$\mathtt{x_V=-\dfrac{b}{2a}}\\\\\\ \mathtt{x_V=-\dfrac{(-16)}{2\cdot 2}}\\\\\\ \mathtt{x_V=\dfrac{16}{4}}\\\\\\ \mathtt{x_V=4\in\left]0,\,8\right[}$

______

A área mínima é o valor que $\mathtt{A(x)}$ assume quando $\mathtt{x=4}:$

$\mathtt{A_{min}=A(4)}\\\\ \mathtt{=64-16\cdot 4+2\cdot 4^2}\\\\ \mathtt{=64-64+2\cdot 16}\\\\ \mathtt{=32~cm^2}$


Resposta: alternativa $\mathtt{d)~32~cm^2.}$


Dúvidas? Comente.


Bons estudos! :-)

Answer 2

Resposta:

Alternativa D: 32 cm².

Explicação passo-a-passo:

Inicialmente, podemos calcular a área de toda a figura. Veja que o quadrado mede 8 cm. Desse modo, sua área será:

$A=8^2=64 \ cm^2$

Agora, veja que os triângulos no interior do quadrado maior são retângulos. Com suas duas medidas, podemos calcular a hipotenusa, que é a medida do lado do quadrado menor. Assim:

$a^2=x^2+(8-x)^2\\ \\ a^2=64-16x+2x^2$

Veja que nessa função temos a hipotenusa elevada ao quadrado, o que é equivalente a área do quadrado menor. Derivando essa função, que possui concavidade para cima (ax², com a > 0), podemos igualar a zero e determinar o valor mínimo de X. Portanto:

$A=2x^2-16x+64\\ \\ A'=4x-16=0\\ \\ x=4 \ cm$

Uma vez que a medida de X é, no mínimo, igual a 4 centímetros, podemos calcular a medida do lado do quadrado menor. Por fim, temos:

$A=2\times 4^2-16\times 4+64\\ \\ \boxed{A=32 \ cm^2}$

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