Question

Na figura a seguir, os quadriláteros ABCD,FGHI e GHID são quadrados e o triângulo CDE é equilátero.


Determine as medidas dos ângulos internos do quadrilátero CGIA .

Answer 1

As medidas dos ângulos internos do quadrilátero CGIA são 60°, 60°, 120° e 120°.

Primeiramente, vamos definir os ângulos internos do quadrilátero CGIA:

ACG, CGI, GIA e IAC.

Além disso, temos que:

ACG = ACD + DCG

CGI = CGD + DGI

GIA = GID + DIA

IAC = IAD + DAC

Como o triângulo CDE é equilátero, então os ângulos internos medem 60°.

Já os ângulos internos de um quadrado medem 90°.

Além disso, perceba que o triângulo CGD é isósceles.

Sendo assim, os ângulos DCG e CGD medem:

(180 - (60 + 90))/2 = 15°.

Como AC é uma diagonal de quadrado, então o ângulo ACD mede 45°.

Da mesma forma, IG é uma diagonal, então o ângulo DGI mede 45°.

Assim, temos que os ângulos ACG e CGI são:

ACG = 45 + 15

ACG = 60°

e

CGI = 15 + 45

CGI = 60°.

Os ângulos GID e DAC também medem 45°.

Perceba que:

ADC + CDE + EDG + GDI + IDA = 360.

Portanto,

90 + 60 + 90 + 90 + IDA = 360

330 + IDA = 360

IDA = 30°.

O triângulo ADI é isósceles. Logo, os ângulos da base, DIA e IAD, medem:

(180 - 30)/2 = 150/2 = 75°.

Portanto, os ângulos GIA e IAC medem:

GIA = 45 + 75

GIA = 120°

e

IAC = 75 + 45

IAC = 120°.