Question

Na figura a seguir, os círculos iguais tem raios no valor de 2 cm e tangenciam-se externamente nos pontos A, B e C.

Calcule a área hachurada delimitada pelos menores arcos AB, AC e BC.​

Answer 1

Resposta:

Observe que os lados do triângulo são todos formados pelos raios de 2 círculos, sendo assim o seu triângulo é equilátero e tem lado medindo 4cm. Dentro do triângulo temos três setores circulares de 60º (porque o ângulo do setor é o mesmo do triângulo e o triângulo equilátero tem todos os ângulos internos valendo 60º).

A área hachurada pode ser encontrada fazendo área do triângulo menos a área dos três setores.

(I) Área do triângulo

Vamos usar a fórmula de área especial do triângulo equilátero, sendo l = lado, temos:

$A = \dfrac{l^2\sqrt{3} }{4} = \dfrac{4^2\sqrt{3} }{4} = \dfrac{16\sqrt{3} }{4} =4\sqrt{3}$

(II) Area do setor

Faremos uma regra de três para encontrar a área do setor.

Ângulo                   Área

360º                      π.r²

60º                          x

Multiplicando cruzado temos:

$360x = 60.\pi.r^2\\\\x = \dfrac{60.\pi.2^2}{360} \\\\x = \dfrac{\pi.4}{6} \\\\x = \dfrac{2\pi}{3}$

A área hachurada será:

$4\sqrt{3} - \dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{12\sqrt{3} -2\pi}{3}$