Question

Na figura a seguir, o triângulo equilátero possui como vértices três pontos médios dos lados de um hexágono regular.

Seja x a razão entre a área do triângulo e a área do hexágono.

Seja y a razão entre o perímetro do triângulo e o perímetro do hexágono.

Qual é o valor de x+y ? 

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Mariana, que a resolução parece simples.

Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Conforme a figura anexada, tem-se que :

"x" é a razão entre a área do triângulo e a área do hexágono

e

"y" é a razão entre o perímetro do triângulo e o perímetro do hexágono.

ii) Agora veja que:

ii.1) A área de um triângulo equilátero é dada por:

At = L²*√(3) / 4

e

ii.2) A área de um hexágono regular é dada por:

Ah = 3L²*√(3) / 2

ii.3) Como a razão entre a área do triângulo e a área do hexágono, então teremos que:

At/Ah = [L²*√(3) / 4] / [3L²*√(3) / 2] ---- veja: divisão de frações. Regra: conserva-se a primeira fração como está e multiplica-se pelo inverso da segunda. Então:

At/Ah = [L²*√(3)/4] * [2/L²*√(3)] ---- simplificando-se "L²*√(3)/4" do numerador com 'L²*√(3)/2" do denominador iremos ficar apenas com:

At/Ah = 2/4 ----- simplificando-se tudo por "2" iremos ficar apenas com:

At/Ah = 1/2 <---- Esta é a razão entre a área do triângulo e a área do hexágono. Mas como chamamos de "x" esta razão, então teremos que:

x = 1/2 <--- Este é o valor de "x".

iii) Agora vamos à razão entre os perímetros do triângulo e do hexágono.

iii.1) O perímetro de um triângulo equilátero é dado por:

Pt = 3L

iii.2) O perímetro de um hexágono regular é dado por:

Ph = 6L

iii.3) Assim, a razão entre o perímetro do triângulo e hexágono será dado por:

Pt/Ph = 3L/6L ---- simplificando-se tudo por "3L" iremos ficar apenas com:

Pt/Ph = 1/2 <--- Esta é a razão entre os perímetros do triângulo e do hexágono.

Como chamamos de "y" a razão entre os perímetros, então teremos que:

y = 1/2 <--- Este é o valor de "y".

iv) Agora vamos ao que está sendo pedido, que é o valor de x + y. Logo:

x + y = 1/2 + 1/2 ----- como os denominadores são os mesmos, então faremos:

x + y = (1+1)/2

x + y = (2)/2

x + y = 1 <--- Esta é a resposta. Este é o valor pedido de "x+y".

É isso aí.

Deu pra entender bem?

OK?

Adjemir.