Question

Na figura a seguir, o triângulo equilátero possui como vértices três pontos médios dos lados de um hexágono regular.

Seja x a razão entre a área do triângulo e a área do hexágono.

Seja y a razão entre o perímetro do triângulo e o perímetro do hexágono.

Qual é o valor de x + y ?

Answer 1

Olá!

A área do triângulo é dada por:

$A(triângulo) = \frac{b.h}{2}$

A área do pentágono é dada por:

$A(pentágono) = {\frac{L.\frac{h}{2}}{2} } . 6$

A altura do triângulo é igual a $\frac{3}{4}$ da altura do pentágono. Então vamos padronizar as variáveis:

$A(triângulo) = \frac{b.\frac{3}{4}.h}{2}$

Mas ainda temos que padronizar a base do triângulo.

Sabemos que os ângulos internos de um pentágono são de 108º. Pensando nas intersecções da base do triângulo com o pentágono. 

Veja a figura em anexo, com o triângulo formado na intersecção. Os ângulos internos desse triângulo são de 90º, 54º e 36º. Sabemos que a hipotenusa desse triângulo retângulo é igual a $\frac{L}{2}$. Assim conseguimos descobrir o cateto:

$sen \alpha 54 = \frac{cat. adjacente}{hipotenusa}$

$sen 54 = \frac{cat. adjacente}{\frac{L}{2}}$

cateto = 0,405 L

Temos um triângulo de um lado da intersecção e outro do outro lado. Assim a base do triângulo é:

Base = L + 2.(0,405L)

Base = 1,81 L

Agora podemos escrever a fórmula da Área do triângulo da seguinte forma:

$A(triângulo) = \frac{1,81L.\frac{3}{4}.h}{2}$

Vamos para a segunda parte do exercício:

Se, X = $\frac{Area triangulo}{Area Hexagono}$

X = $\frac{ \frac{1,81L.\frac{3}{4}.h}{2} } {{\frac{L.\frac{h}{2}}{2} } . 6}$

X = $\frac{0,6783 Lh}{1,5 Lh}$

X = 0,45

Agora vamos para o perímetro. 

O perímetro do pentágono é igual a 6L.

O perímetro do triângulo é igual a 3B.

Se Y = $\frac{Perimetro triangulo}{Perimetro Hexagono}$

Y = $\frac{3.1,81 L}{6L}$

Y = 0,90

Logo,

X + Y = 0,45 + 0,90 = 1,35