Na figura a seguir, o triângulo ABC tem lados AB=6cm, AC=8cm e BC=10cm. Além disso, M é ponto médio de BC¯ e AMDE é um quadrado com o lado MD¯ intersectando AC¯ no ponto F.
(a) Descreva quais resultados ou argumentos podem ser utilizados para se concluir que:
1) o triângulo ABC é retângulo com ângulo reto no vértice A;
2) o triângulo BMA é isósceles de base AB¯;
3) o triângulo CMA é isósceles de base CA¯.
(b) Determine a área do quadrilátero AFDE.
Soluções para a tarefa
a) 1) o triângulo ABC é retângulo com ângulo reto no vértice A;
Argumento: O lado BC é a hipotenusa, pois a soma do quadrado dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. Veja o cálculo:
BC² = AB² + AC²
10² = 6² + 8²
100 = 36 + 64
100 = 100 (provado!)
2) o triângulo BMA é isósceles de base AB;
Argumento: Em um triângulo retângulo, a mediana que parte do ângulo reto divide a hipotenusa em dois segmentos de reta, do mesmo tamanho da mediana. Logo: AM = BM.
3) o triângulo CMA é isósceles de base CA.
Argumento: Em um triângulo retângulo, a mediana que parte do ângulo reto divide a hipotenusa em dois segmentos de reta, do mesmo tamanho da mediana. Logo: AM = CM.
(b) A área do quadrilátero AFDE é 15,625 cm².
Explicação: BM e CM têm a metade do segmento BC. Logo:
BM = CM = BC/2
BM = CM = 10/2 = 5 cm
Essa também é a medida da mediana AM.
AM = 5 cm
Como AM é um dos lados do quadrado AMDE, temos que sua área é:
5 x 5 = 25 cm²
Agora, precisamos calcular a área do triângulo AMF.
Por semelhança de triângulos, temos:
x = 5
6 8
8.x = 6.5
8x = 30
x = 30/8
x = 3,75
Área: 5 x 3,75 = 9,375 cm²
2
Agora, subtraímos essa área da área do quadrado.
25 - 9,375 = 15,625 cm²
