Question

Na figura a seguir, M,N e P são pontos de tangência, e a medida de OM é 16. Calcule o perímetro do triângulo assinalado:"

R: 32

Answer 1

Consideremos  como pontos A e B  respectivamente  o encontro da tangente
geométrica que passa por N com as tangentes geométricas OM e OP
Chamemos de "x" a distância de "o" à P (OP) ou a distância de "o" à M (OM)
Observemos que  OP = OM
Observemos que  BP = BN  e AM = AN           (RELAÇÃO I )
Observemos que  AN + BN = AB                     (RELAÇÃO II )
Se   x = OB + BP ⇒  x  = OB + BN     (Vide RELAÇÂO I)
       x = OA + AM  ⇒ x =  OA + AN     (Vide RELAÇÂO I)
Somando as duas relações acima  ⇒ 2x = OA + OB + (BN + AN)
Então  2x = OA + OB + AB(RELAÇÂO II)   ⇒ 2x = 2p ⇒  x = p
"x" é  semiperímetro Δ OAB logo sendo "x" = 16  o perímetro Δ OAB = 2×16 = 32
Resposta: Perímetro = 32
                                

Answer 2

O perímetro do triângulo assinalado é 32.

A conta que nos leva a obter o resultado correto dessa questão é bastante simples e envolve o desenvolver do seguinte raciocínio, acompanhe:

--> os vértices do triângulo serão considerados como O, M' e P'.

--> como a tangente de um ponto exterior a um círculo tem o mesmo tamanho, então é verdade que

OM = MP= 16.

--> em consequência disso, teremos que

M`M = M`Y e

P`P =P`Y

Portanto, o perímetro do triangulo é

OM`+ M`Y + OP' + P'Y

= OM`+M`M + OP`+ P`P

= OM + OP

= 2* 16

= 32