Question

Na figura a seguir, há duas circunferências, ambas de raio de medida 30 cm, centradas
em A e C, e que se intersectam em B e D. Determine a área da região destacada.

​

Answer 1

Resposta:

$75 \times (2\pi - 3 \sqrt{3} )$

Explicação passo-a-passo:

Por favor, se possível, confira o passo-a-passo e sinalize se houver algum equívoco ou dúvida.

Com as condições propostas, podemos chegar a conclusão que o raio 30cm = AB = BC = AC. Portanto, ao traçarmos AC, dois triângulos equiláteros ficam evidentes. Tais triângulos possuem ângulos internos congruentes de 60°.

Destaque o ângulo de 60° do triângulo de cima voltadopara o segmento circular (área destacada). Ele será nossa referência e nosso α. Para facilitar, agora, elimine um dos círculos e o triângulo de baixo. Por fim, precisamos calcular o segmento circular (sgc), retirando a área do triângulo equilátero (ate) do setor circular (src). Sabendo que:

$ate = \frac{ {l}^{2} \sqrt{3} }{4} \\ nesse \: caso \: l = r \: (raio)$

$src = \frac{ \alpha \times \pi \times {r}^{2} }{360°}$

sendo α o ângulo central que forma o setor, então:

$sgc = src - ate = \frac{60 \times \pi \times{30}^{2} }{360} - \frac{ {30}^{2} \sqrt{3} }{4} = \\ = \frac{54000 \times \pi}{360} - \frac{900 \sqrt{3} }{4} = \\ = 150\pi - 225 \sqrt{3} = \\ = 75 \times (2\pi - 3 \sqrt{3} )$

Espero ter ajudado!!!