Question

Na figura a seguir, determine a bissetriz interna relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo de cateto b e c.

Gabarito: X = √2 . bc / b+c

OBS: Sei que tem que aplicar teorema da bissetriz interna mas to com problemas pra chegar no gabarito.

Answer 1

$\frac{2}{b+c} \sqrt{bc(\frac{a+b+c}{2}(\frac{a+b+c - 2a}{2})  } \\ \frac{2}{b+c} \sqrt{bc(\frac{a+b+c}{2})(\frac{-a+b+c}{2})  } \\ \frac{2}{b+c} \sqrt{bc(\frac{-a^{2}+ab+ac-ab+b^{2} +bc-ca+bc+c^{2}  }{4} } \\ \frac{2}{b+c} \sqrt{bc(\frac{-a^{2}+2bc+b^{2}+c^{2}   }{4} } \\ \frac{1}{b+c} \sqrt{bc(-b^{2}-c^{2}+2bc+c^{2} +b^{2}   } \\ \frac{1}{b+c} } \sqrt{bc(2bc)} \\ \frac{1}{b+c} \sqrt{2bc^{2} } \\ \frac{1}{b+c} bc\sqrt{2}$

Utilizei :

- Teorema da bissetriz interna : $\frac{1}{b+c} \sqrt{bcp(p-a)}$ onde $p = \frac{a+b+c}{2}$

- -a² = -b² - c²

UFAAAA

Answer 2

Resposta:

Seja $x$ a bissetriz interna relativa à hipotenusa do triângulo:

$\boxed{x=\sqrt2\dfrac{bc}{b+c}}$

Explicação passo-a-passo:

Vamos resolver essa questão utilizando apenas o cálculo de áreas. Considere a figura anexada à solução.

Inicialmente, vamos calcular as áreas dos triângulos ABI e ACI:

$\bullet~\triangle ABI:\\\\S_{\triangle ABI}=\dfrac{1}{2}AB\cdot AI\cdot\sin(\^A)\\\\S_{\triangle ABI}=\dfrac{1}{2}\cdot c\cdot x\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}\\\\\\S_{\triangle ABI}=\dfrac{\sqrt2}{4}cx\\\\\\\bullet~\triangle ACI:\\\\S_{\triangle ACI}=\dfrac{1}{2}AC\cdot AI\cdot\sin(\^A)\\\\S_{\triangle ACI}=\dfrac{1}{2}\cdot b\cdot x\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}\\\\\\S_{\triangle ACI}=\dfrac{\sqrt2}{4}bx$

Porém, sabemos que a área do triângulo retângulo ABC (que pode ser encontrada facilmente devido à perpendicularidade entre os catetos) é igual à soma das áreas calculadas acima. Logo:

$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABI}+S_{\triangle ACI}\\\\\dfrac{bc}{2}=\dfrac{\sqrt2}{4}cx+\dfrac{\sqrt2}{4}bx\\\\\dfrac{bc}{2}=\dfrac{\sqrt2}{4}(b+c)x\\\\bc=\dfrac{\sqrt2}{2}(b+c)x\\\\x = \dfrac{2}{\sqrt2}\dfrac{bc}{b+c}\\\\\boxed{x = \sqrt2\dfrac{bc}{b+c}}$