Question

Na figura a seguir, considere que a circunferência tem centro A. Os segmentos AB, AC e BD são congruentes e cada um deles mede R. O segmento DE mede 6 cm e tangencia a circunferência.

Nas condições dadas, a medida do segmento AE é igual a:
a) √3 cm
b) 3 cm
c) 2√3 cm
d) 6 cm

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Usando potência de ponto:

$\overline{DB}.\overline{DC}=(\overline{DE})^{2}$

Sabemos que $\overline{AB}=\overline{AC}=\overline{BD}=r$ onde r é o raio da circunferência. Logo

$\overline{DB}=r$ e $\overline{DC}=3r$ e sabemos que $\overline{DE}=6cm$.

Substituindo na fórmula:

$r.3r=6^{2} \\\\3r^{2}=36\\\\r^{2}=\dfrac{36}{3}\\\\r^{2} = 12\\\\r=\sqrt{12}\\\\r=2.\sqrt{3} cm$

Como  o segmento $\overline{AE}$ liga o centro até um ponto na circunferência, ele é o raio.

$\overline{AE}=r\\\\\boxed{\overline{AE}=2\sqrt{3}cm}$

Resposta C

Answer 2

A medida do segmento AE será igual a 2√3 cm. Alternativa C.

Assumindo que o raio da circunferência é igual a r, sendo o ponto A o centro da circunferência, a distância de AC = AB = r.

Os ângulos congruentes  AB, AC e BD possuem a mesma medida.

Pelo enunciado sabemos que o segmento DE mede 6 cm e analisando a imagem DB também é igual a r e DC = 3r.

Usando então a fórmula de potência de ponto temos que:

                                     $DB*DC=(DE)^2\\\\r*3r=6^2\\3r^2=36\\r^2=\frac{36}{3}\\r^2=12\\r=\sqrt{12}\\r= 2\sqrt{3} \ cm$

Se observar a distância dos pontos AE será igual ao raio, ou seja:

                                       $AE = r\\AE = 2\sqrt{3} \ cm$

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