Question

Na figura a seguir, considere que:

A= 105°,
B= 45°,
AC=8cm.

Nesse caso, o comprimento AB , em centímetros, é de

Answer 1

Utilizando-se a lei dos senos chega-se ao valor 4√2 para o comprimento AB.

$\boxed{\boxed{\sf \displaystyle c = 4 \cdot \sqrt{2}}}$

         Segundo a Lei dos senos a razão entre o lado de um triângulo e o seno do ângulo oposto é uma constante. Aplicando ao problema podemos escrever:

$\boxed{\sf \displaystyle \frac{c}{\sin C} = \frac{b}{\sin{B}}} \ \sf(I)$

Extraindo-se os dados do enunciado:

A= 105°,

B= 45°,

AC = b = 8 cm

AB = c = ? (É o que se deseja calcular.)

        Observe que o ângulo C não foi dado, mas lembrando que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°,

A + B + C =  180°

105° + 45° + C =  180°

C =  30°

         Utilizando-se então a equação (I)

$\sf \displaystyle \frac{c}{\sin 30^\circ} = \frac{8}{\sin 45 ^\circ}$

$\sf \displaystyle c = \frac{8 \cdot \sin 30^\circ}{\sin 45 ^\circ}$

$\sf \displaystyle c = \frac{8 \cdot \frac{1}{2} }{\frac{\sqrt{2} }{2} } = \frac{4}{\frac{\sqrt{2} }{2} } = 4 \cdot \frac{2}{\sqrt{2} } = \frac{8}{\sqrt{2} }$

        racionalizando,

$\sf \displaystyle c = \frac{8}{\sqrt{2} } \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{8 \cdot \sqrt{2}}{2}$

$\boxed{\boxed{\sf \displaystyle c = 4 \cdot \sqrt{2}}}$