Question

Na figura a seguir, BCD é um triângulo retângulo isósceles. Logo, o lado BD mede quanto? Explique.

Answer 1

Resposta: 6raiz de(2) u.c.

Explicação passo-a-passo:

Aplicaremos, no triângulo retângulo ABC, o teorema de Pitágoras. Logo, obteremos:

(x + 8)² = (x + 7)² + x² =>

(x + 8)² - (x + 7)² = x² =>

[(x + 8) + (x + 7)][(x + 8) - (x + 7)] = x² =>

[x + x + 8 + 7][x + 8 - x - 7] = x² =>

(2x + 15)(x - x + 8 - 7) = x² =>

(2x + 15) = x² =>

x² - 2x - 15 = 0 =>

x² + 3x - 5x - 15 = 0 =>

x(x + 3) - 5(x + 3) = 0 =>

(x + 3)(x - 5) = 0 =>

x + 3 = 0 => x = - 3 (Absurdo!)

ou

x - 5 = 0 => x = 5 (Resposta)

O valor de “x” é 5 u.c. (sabemos que comprimento não pode ser negativo) Com isso a hipotenusa do triângulo retângulo menor (triângulo BCD) mede 5 + 7 = 12 u.c. Também nos foi informado que ele é retângulo isósceles (possui os dois catetos com o mesmo comprimento, ou seja, os dois medem BD). Logo, o lado BD mede:

(5 + 7)² = BD² + BD² =>

12² = 2BD² =>

2BD² = 144 =>

BD² = 144/2 =>

BD² = 72 =>

|BD| = raiz de(72) u.c. e BD > 0 =>

BD = raiz de(72) u.c. = 6raiz de(2) u.c.

Abraços!

Answer 2

Vamos lá.

Veja, Parisgeller, que a resolução parece simples. Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Na figura anexada por foto, tem-se que BCD é um triângulo retângulo isósceles. Com base nessa informação e nas que constam da figura anexada por foto, determine a medida do lado BD.

ii) Note que no triângulo ABC temos um triângulo retângulo em C, cujos lados medem: "x+8", "x+7" e "x". O lado "x+8" (que se opõe ao ângulo reto (que é o ângulo C) será a hipotenusa. Assim, se você aplicar Pitágoras teremos isto:

(x+8)² = (x+7)² + x² ----- desenvolvendo, teremos:

x²+16x+64 = x²+14x+49 + x² ----- reduzindo os termos semelhantes no 2º membro, temos:

x² + 16x + 64 = 2x² + 14x + 49 ---- vamos passar todo o 1º membro para o 2º, com o que ficaremos assim:

0 = 2x² + 14x + 49 - x² - 16x - 64 ---- reduzindo os termos semelhantes, temos:

0 = x² - 2x - 15 ----- vamos apenas inverter, ficando:

x² - 2x - 15 = 0 ----- agora vamos aplicar a fórmula de Bháskara, que é esta:

x = [-b ± √(Δ)]/2a ---- sendo Δ = b²-4ac. Assim, substituindo-se, temos:

x = [-b ± √(b²-4ac)]/2a

A propósito, note que os coeficientes da função acima são estes:

a = 1 --- (é o coeficiente de x²); b = -2 --- (é o coeficiente de "x"); c = -15 --- (é o coeficiente do termo independente).

Assim, fazendo as devidas substituições na fórmula de Bháskara (vide coeficientes acima), teremos:

x = [-(-2) ± √((-2)² - 4*1*(-15)]/2*1 ----- desenvolvendo, temos:

x = [2 ± √(4 + 60)]/2 ---- continuando, temos:

x = [2 ± √(64)]/2 ---- como √(64) = 8, teremos:

x = [2 ± 8]/2 ----- daqui você já conclui que as raízes são estas:

x' = (2 - 8)/2 = (-6)/2 = - 3 <--- raiz inválida, pois um lado do triângulo não pode ter medida negativa.

x'' = (2+8)/2 = (10)/2 = 5 <--- raiz válida.

Assim, teremos que sendo x = 5, então os lados do triângulo ABC terão estas medidas:

x+8 = 5+8 = 13 u.m.

x+7 = 5+7 = 12 u.m.

x = 5 u.m.

Observação: u.m. = unidades de medida.

iii) Agora vamos para o triângulo BCD, retângulo em D, e que é um triângulo retângulo isósceles, conforme foi dado pelo enunciado da questão.

Agora veja isto e não esqueça mais: se um triângulo retângulo é também isósceles, então é porque os catetos serão congruentes (ou iguais).

Sabendo disso, então veja que a hipotenusa do triângulo BCD (retângulo em D) é o lado "x+7" (que é o lado que se opõe ao ângulo reto) e que já vimos que mede "12" u.m.   E se aplicarmos Pitágoras , teremos:

12² = BD² + CD² ------ mas como o triângulo é isósceles, então é porque BD é igual a CD. Logo, poderemos substituir CD por BD, com o que ficaremos assim:

12² = BD² + BD² ---- como 12² = 144 e como "BD²+BD² = 2BD²", teremos:

144 = 2BD² ---- vamos apenas inverter, o que dá no mesmo:

2BD² = 144 ------ isolando BD², teremos:

BD² = 144/2

BD² = 72 ----- isolando BD teremos:

BD = ± √(72) ----- note que 72 = 2³.3² = 2².2¹.3² = 2².3².2¹ = 2².3².2 ---- substituindo, temos:

BD = ± √(2².3².2) ----- atente: quem estiver elevado ao quadrado sairá de dentro da raiz quadrada. Logo, ficaremos com:

BD = ± 2.3√(2) ----- ou apenas:

BD = ± 6√(2) ----- mas como o lado não vai poder ter medida negativa, então ficaremos apenas com a medida positiva e igual a :

BD = 6√(2) u.m. <---- Esta é a resposta. Ou seja, o lado BD mede 6√(2) u.m. (unidades de medida), medida esta que é exatamente igual à do lado CD, pois sendo o triângulo retângulo e isósceles, então os catetos têm medidas iguais.

É isso aí.

Deu pra entender bem?

OK?

Adjemir.