Question

Na figura a seguir ABCDEF é um hexagono regular e P é o ponto de interseção das diagonais AD e BF.
Qual é a fração da área do hexagono que corresponde a área do trapézio ABCP ?

Answer 1

Oi Adna!

Primeiramente veja a figura:

Cada ângulo desse Hexágono corresponde a 120°.

Perceba que, BA=BF=l.

E como o ângulo é 120° poderemos achar o valor de BF pela lei dos cossenos:

$x^{ 2 }=l^{ 2 }+l^{ 2 }-2*l*l*(-\frac { 1 }{ 2 } )\\ \\ x=l\sqrt { 3 }$


Ou seja:

$BP=PF=\frac { l\sqrt { 3 } }{ 2 }$


Poderemos achar o valor de AP usando pitágoras ou simplesmente o SOH CAH TOA:

$tg60^{ o }=\frac { \frac { l\sqrt { 3 } }{ 2 } }{ h } \\ \\ \sqrt { 3 } =\frac { \frac { l\sqrt { 3 } }{ 2 } }{ h } \\ \\ h\sqrt { 3 } =\frac { l\sqrt { 3 } }{ 2 } \\ \\ h=\frac { l }{ 2 }$

A área desse triângulo menor sombreado é:

$A=\frac { \frac { l }{ 2 } *\frac { l\sqrt { 3 } }{ 2 } }{ 2 } \\ \\ \\ A=\frac { \frac { l^{ 2 }\sqrt { 3 } }{ 4 } }{ 2 } \\ \\ A=\frac { l^{ 2 }\sqrt { 3 } }{ 8 }$

Agora a área do triângulo sombreado maior:

$A=\frac { \frac { l\sqrt { 3 } }{ 2 } *l }{ 2 } \\ \\ A=\frac { l^{ 2 }\sqrt { 3 } }{ 4 }$

A área sombreada é:

$\frac { l^{ 2 }\sqrt { 3 } }{ 4 } +\frac { l^{ 2 }\sqrt { 3 } }{ 8 } =\frac { 3l^{ 2 }\sqrt { 3 } }{ 8 }$

Agora a razão:

$R=\frac { \frac { 3l^{ 2 }\sqrt { 3 } }{ 8 } }{ \frac { 3l^{ 2 }\sqrt { 3 } }{ 2 } } \\ \\ \boxed {R=\frac { 1 }{ 4 } }$