Na figura a seguir, ABC é um triángulo equilátero, D, E, F são pontos médios dos lados e G é o centro desse triangulo. Se a área do quadrilatero sombreado é 3, qual é a área do triângulo ABC?
Opções
(A) 24
(B) 27
(C) 30
(D) 36
(E) 48
Soluções para a tarefa
Resposta:
D) 36
Explicação passo a passo:
Triângulos congruentes são iguais entre si.
Usando os pontos médios e o baricentro do triângulo, podemos dividi-lo em 3 triângulos menores congruentes (fig.1).
Logo:
CAG = GAB = CGB
A área total então se dá por:
A = CAG + GAB + CGB
Então cada um dos 3 triângulos da figura 1 representa 1/3 da área total do triângulo ABC.
Também podemos traçar 4 triângulos congruentes (fig.2)
CFE = FAD = EDB = DFE
A área total se dá também por:
A = CFE + FAD + EDB + DFE
Então cada um dos 4 triângulos representa 1/4 da área total do triângulo ABC.
Agora observe o triângulo CGB (fig.3).
Ele corresponde a metade de um triângulo de 1/4 (CFE = FAD = EDB = DFE) em cima e outra metade em baixo MAIS a área sombreada.
Então a área do triângulo CGB (fig.3) é igual a metade a área triângulo CFE mais metade da área do triângulo EDB mais a área sombreada (s).
CGB = 1/2 . CFE + 1/2 . EDB + s
Sabendo que os triângulos CGB e EDB representam 1/3 e 1/4 da área total, respectivamente:
1/3 = 1/2 . (1/4) + 1/2 . (1/4) + s
1/3 = 1/8 + 1/8 + s
1/3 = 2/8 + s
s = 1/3 - 2/8
s = 8/24 - 6/24
s = 2/24
s = 1/12 (fração da área sombreada em relação a área total)
Sabendo que a área sombreada é 3 ( s = 3), agora é só usar a regra de 3 para achar a área total (A):
1/12 = 3
1 = A
A/12 = 3
A = 3 . 12
A = 36
