Question

Na figura a seguir, ABC é um triángulo equilátero, D, E, F são pontos médios dos lados e G é o centro desse triangulo. Se a área do quadrilatero sombreado é 3, qual é a área do triângulo ABC?

Opções

(A) 24

(B) 27

(C) 30

(D) 36

(E) 48​

Answer 1

Resposta:

D) 36

Explicação passo a passo:

Triângulos congruentes são iguais entre si.

Usando os pontos médios e o baricentro do triângulo, podemos dividi-lo em 3 triângulos menores congruentes (fig.1).

Logo:

CAG = GAB = CGB

A área total então se dá por:

A = CAG + GAB + CGB

Então cada um dos 3 triângulos da figura 1 representa 1/3 da área total do triângulo ABC.

Também podemos traçar 4 triângulos congruentes (fig.2)

CFE = FAD = EDB = DFE

A área total se dá também por:

A = CFE + FAD + EDB + DFE

Então cada um dos 4 triângulos representa 1/4 da área total do triângulo ABC.

Agora observe o triângulo CGB (fig.3).

Ele corresponde a metade de um triângulo de 1/4 (CFE = FAD = EDB = DFE) em cima e outra metade em baixo MAIS a área sombreada.

Então a área do triângulo CGB (fig.3) é igual a metade a área triângulo CFE mais metade da área do triângulo EDB mais a área sombreada (s).

CGB = 1/2 . CFE + 1/2 . EDB + s

Sabendo que os triângulos CGB e EDB representam 1/3 e 1/4 da área total, respectivamente:

1/3 = 1/2 . (1/4) + 1/2 . (1/4) + s

1/3 = 1/8 + 1/8 + s

1/3 = 2/8 + s

s = 1/3 - 2/8

s = 8/24 - 6/24

s = 2/24

s = 1/12 (fração da área sombreada em relação a área total)

Sabendo que a área sombreada é 3 ( s = 3), agora é só usar a regra de 3 para achar a área total (A):

1/12 = 3    

1 = A

A/12 = 3

A = 3 . 12

A = 36