Question

Na figura a seguir, AB é o diâmetro da semicircunferência ABC. O triângulo isósceles ACB está inscrito nessa semicircunferência e AC = CB = √2. A área da região sombreada é igual a:
A 4π - √2
B 2π - √2
C 4π - 2
D 2π - 2

Answer 1

Resposta:

$\frac{l {}^{2} }{4} (\pi - 2)$

Answer 2

A área da região sombreada é igual a π - 2, que não se encontra dentre as alternativas.

Compreendendo a figura

Nós temos um triângulo isósceles dentro de uma semicircunferência. Nós precisamos pontuar certos valores importantes nesse esquema.

Por exemplo, sabemos que a base AB é o diâmetro, ou seja, podemos escrevê-la sendo igual a duas vezes o raio (2r).

Sabemos também, que a sua altura é também igual ao valor do raio (r).

Agora que pontuamos isso, podemos partir para a resolução.

• Passo 1: calcular a área do triângulo.

Para calcular a área desse triângulo, precisamos saber o valor da altura (r) e da base (2r).

Sabemos que os lados AC e BC são iguais, e medem √2.

Podemos partir esse triângulo no meio através da altura e descobrir o valor de r por meio do teorema de pitágoras.

Teremos:

√2² = r² + r²;

2 = 2r²;

2/2 = r²;

1 = r²;

1 = r

Agora que sabemos que o raio é igual a 1, podemos calcular a área do triângulo:

A = (b.h)/2

A = (2r.r)/2

A = 2r²/2

A = r²

A = 1;

• Passo 2: calcular a área da semicircunferência.

A área da circunferência é dada por πr².

O valor de r é igual a 1, então teremos que a área da circunferência é de π.

Mas precisamos de metade desse valor, ou seja, π/2.

• Passo 3: subtrair a área do triângulo da área da circunferência.

Agora, basta subtrair:

π/2 - 1 = Asombreada;

π - 2 = Asombreada;

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