Question

Na figura a seguir, AB é o diâmetro da circunferência. Qual é o valor, em graus, da medida y?

Answer 1

Percebemos que um dos triângulos é equilátero, sendo assim teremos todos os ângulos 2x, então

2x + 2x + 2x = 180
6x = 180
x = 180/6

x = 30º

Com isso, se o outro triângulo tem um dos lados sendo o diâmetro, então ele obrigatoriamente é um triângulo retângulo, sendo um ângulo o x, o outro o y e o outro 90º, portanto

x + y + 90 = 180
30 + y + 90 = 180
y = 180 - 30 - 90

y = 60º

item C

Answer 2

Sendo AB o diâmetro da circunferência, pode-se afirmar que y=60°, alternativa C.

Triângulos inscritos:

Chame de C o vértice do triângulo inscrito na circunferência que está na metade superior.

Como AB é o diâmetro da circunferência, pode-se afirmar que o ângulo AÔB=180º. Existe uma propriedade que permite afirmar que todo ângulo inscrito é metade do ângulo central correspondente.

Assim, pode-se afirmar que:

$A\overset{\wedge}{C}B=A\overset{\wedge}{O}B/2=90^\circ$

A soma de todos os ângulos em um triângulo é igual a 180º. Como$A\overset{\wedge}{C}B=90^\circ$, então x+y=90º (eq 1).

Aplicando a mesma propriedade de ângulo inscrito, pode-se afirmar que:

$2x = A\overset{\wedge}{O}C/2\\\\A\overset{\wedge}{O}C = 4x$

No triângulo ΔAOC, como AO=OC=raio, pode-se afirma que esse triângulo é isósceles. Dessa forma, ambos os ângulos da base do triângulo são iguais. Assim: $A\overset{\wedge}{C}O=x$. Dessa forma, temos no triângulo ΔAOC que a soma de seus ângulos é:

$A\overset{\wedge}{O}C+O\overset{\wedge}{C}A+C\overset{\wedge}{A}O=180\\4x+x+x=180\\\\6x=180\\\\x=30^\circ$

Voltando-se na eq.1, pode-se afirmar então que y=60º, alternativa C.

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