Question

na figura a seguir, a soma das áreas dos três quadrados é igual a 38
${cm}^{2}$
. a soma do comprimento de todas as diagonais de todos os quadrados da figura é:
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Answer 1

A área do primeiro quadrado é:

$A_1 = x^2$

Visto que x é a medida do seu lado.

A ­área do segundo quadrado é:

$A_2 = (x+2)^2$

Visto que o comprimento do seu lado é 2 cm maior do que do primeiro.

No terceiro quadrado, a área será:

$A_3 = (x-1)^2$

Porque o lado desse quadrado é 3 cm menor do que o segundo e o primeiro é 2 cm maior do que o primeiro. Assim, o lado do terceiro é 1 cm menor do que o lado do primeiro.

A área total é dada por:

$A_t = A_1 + A_2 + A_3$

$A_t = x^2 + (x+2)^2 + (x-1)^2$

No exercício é dito que a soma das áreas é 38. Assim:

$38 = x^2 + (x+2)^2 + (x-1)^2$

Expandindo os termos:

$38 = x^2 + x^2 + 4 \cdot x + 4 + x^2 - 2 \cdot x + 1$

Juntando os termos comuns:

$38 = 3 \cdot x^2+ 2 \cdot x + 5$

$3 \cdot x^2+ 2 \cdot x + 5-38 = 0$

$3 \cdot x^2+ 2 \cdot x -33 = 0$

Agora chegamos em uma equação do 2° grau da forma: $a \cdot x^2 + b \cdot x + c = 0$.

Para poder encontrar quanto vale o lado do primeiro quadrado, x, precisamos da equação de Bhaskara:

$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}$

Usando a = 3, b = 2 e c = -33, obteremos:

$x = \dfrac{-2 \pm \sqrt{2^2-4 \cdot 3 \cdot (-33)}}{2 \cdot 3}$

$x = \dfrac{-2 \pm \sqrt{4+396}}{6}$

$x = \dfrac{-2 \pm \sqrt{400}}{6}$

$x = \dfrac{-2 \pm 20}{6}$

As duas raízes são:

$x_1 = \dfrac{-2 + 20}{6}$

$x_1 = \dfrac{18}{6}$

$x_1 = 3$

e:

$x_2 = \dfrac{-2 - 20}{6}$

$x_2= -\dfrac{22}{6}$

$x_2 = -\dfrac{11}{3}$

Mas como estamos falando em comprimento de lado, apenas o valor positivo nos importa. Assim descobrimos que:

$x = 3 \text{ cm}$

O lado do 2° quadrado será: 3+2 = 5 cm e do 3° quadrado será: 3 - 1 = 2 cm.

A diagonal de um quadrado é dada por:

$d = \sqrt[2]{2} \cdot \ell$

Onde $\ell$ é a medida do lado do quadrado. Assim, as diagonais dos três quadrados será:

$d_1 = \sqrt[2]{2} \cdot 3 = 3 \cdot \sqrt[2]{2} \text{ cm}$

$d_2 = \sqrt[2]{2} \cdot 5 = 5 \cdot \sqrt[2]{2} \text{ cm}$

$d_3 = \sqrt[2]{2} \cdot 2= 2 \cdot \sqrt[2]{2} \text{ cm}$

Mas, aqui tem uma pegadinha. Cada quadrado tem DUAS diagonais. Então, no total teremos que multiplicar cada uma dessas diagonais acima por dois e depois somar para encontrar a soma do comprimento de todas as diagonais de todos os quadrados:

$D = 2 \cdot d_1 + 2 \cdot d_2 + 2 \cdot d_3$

$D = 2 \cdot 3 \cdot \sqrt[2]{2} + 2 \cdot 5 \cdot \sqrt[2]{2} + 2\cdot 2 \cdot \sqrt[2]{2}$

$D = 6 \cdot \sqrt[2]{2} + 10 \cdot \sqrt[2]{2} + 4 \cdot \sqrt[2]{2}$

Finalmente:

$\boxed{D = 20 \cdot \sqrt[2]{2}\text{ cm}}$

Alternativa E

Answer 2

Resposta:

a

Explicação passo a passo: