Question

Na figura 5-62, m1 = 4,0 kg, m2 = 5,0 kg e o coeficiente de atrito cinético entre o
plano inclinado e o bloco de 4,0 kg é μc = 0,24. Encontre a magnitude da aceleração
das massas e a tensão na corda.

Answer 1

As acelerações dos blocos são iguais, já que vamos considerar o fio como inextensível. Isto é: $a_1=a_2=a$.

Decompondo o peso do bloco de massa $m_1$:

$\bullet~\text{Componente do peso normal ao plano inclinado:}~\\P_1_N=P_1\cdot\cos(30^o)=m_1g\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}=4\cdot10\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}\to P_1_N=20\sqrt3~N\\\\ \bullet~\text{Componente do peso tangente ao plano inclinado:}~\\P_1_T=P_1\cdot\sin(30^o)=m_1g\cdot\dfrac{1}{2}=4\cdot10\cdot\dfrac{1}{2}\to P_1_T=20~N$

Nomeando as outras forças que atuam no sistema:

$\bullet~\text{Tra\c{c}\~ao na corda:}~T\\\\ \bullet~\text{Peso do bloco de massa}~m_2:~\\P_2=m_2g=5\cdot10=50~N$

Agora, podemos prosseguir. Calculando a resultante das forças que atuam no bloco 1:

$F_1_{_R}=T-(F_{at}+P_1_T)\\\\ m_1\cdot a_1=T-(\mu N_1+P_1_T)\\\\ m_1\cdot a=T-(\mu P_1_N+P_1_T)\\\\ 4a=T-(0,24\cdot20\sqrt3+20)\\\\ 4a=T-20-2,8\sqrt3~~(i)$

Analisando a resultante das forças no bloco 2:

$F_2_{_R}=P_2-T\\\\ m_2\cdot a_2=m_2g-T\\\\ 5 a=5\cdot10-T\\\\ 5a=50-T\\\\ T=50-5a~~~(ii)$

Substituindo o valor obtido para T em (ii) na equação (i):

$4a=T-20-2,8\sqrt3\\\\ 4a=(50-5a)-20-2,8\sqrt3\\\\ 9a=30-2,8\sqrt3\\\\ a=\dfrac{30-2,8\sqrt3}{9}\\\\ \boxed{a=\dfrac{10}{3}+\dfrac{14\sqrt3}{45}~m/s^2}$

Encontrada a aceleração, podemos substituir o valor obtido na equação (ii) para chegarmos ao valor da tração:

$T=50-5a\\\\ T=50-5\cdot\left(\dfrac{10}{3}+\dfrac{14\sqrt3}{45}\right)\\\\ T=50-\dfrac{50}{3}-\dfrac{14\sqrt3}{9}\\\\ \boxed{T=\dfrac{100}{3}-\dfrac{14\sqrt3}{9}~N}$