Question

Na Fig. 29-76, uma espira conduz uma corrente i = 200 mA. A espira é formada por dois segmentos radiais e dois arcos de circunferência concêntricos de raios 2,00 m e 4,00 m. O ângulo (} é 7r/4 rad. Determine (a) o módulo e (b) o sentido (para dentro ou para fora do papel) do campo magnético no centro de curvatura P.

Answer 1

Utilizando a Lei de Bio-Savart para campos magneticos, temos que o campo resultante deste circuito é de $\vec{B}=\frac{7\mu_0}{200}\hat{z}$ T e aponta para fora da folha, pois é positivo.

Explicação:

Para resolvermos esta questão, basta usarmos a lei de Bio-Savart e encontrarmos a formula de um campo magnetico para arcos de angulo θ:

$\vec{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_{C}\frac{i.\vec{dl}\times\hat{r}}{r^2}$

Onde nosso comprimento infinitesimal de integração pode ser escrito como o raio vezes o angulo infinitesimal:

$\vec{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_{C}\frac{i.r\vec{d\theta}\times\hat{r}}{r^2}$

$\vec{B}=\frac{\mu_0.i}{4\pi}\int_{C}\frac{\vec{d\theta}\times\hat{r}}{r}$

$\vec{B}=\frac{\mu_0.i}{4\pi}\int_{C}\frac{d\theta}{r}\hat{z}$

Como nestes arcos o raio é constante, poemos tira-lo da integral:

$\vec{B}=\frac{\mu_0.i}{4\pi.r}\int_{C}d\theta\hat{z}$

E a integral deste angulo infinitesimal é o próprio angulo:

$\vec{B}=\frac{\mu_0.i.\theta}{4\pi.r}\hat{z}$

Sempre apontando na direção z.

Agora basta analisarmos o sentido da corrente. Vamos supor que ela corre no sentido horario, sendo assim, o segmento mais proximo de P cria um campo positivo:

$\vec{B}=\frac{\mu_0.i.\theta}{4\pi.r}\hat{z}$

$\vec{B_1}=\frac{\mu_0.0,2.\frac{7\pi}{4}}{4\pi.2}\hat{z}$

$\vec{B_1}=\frac{7\mu_0.0,2}{32}\hat{z}$

$\vec{B_1}=\frac{7\mu_0}{160}\hat{z}$

E o segundo segmento fez um campo negativo por estar na direção oposta:

$\vec{B_2}=\frac{\mu_0.(-0,2).\frac{7\pi}{4}}{4\pi.4}\hat{z}$

$\vec{B_2}=-\frac{7\mu_0.0,2}{64}\hat{z}$

$\vec{B_2}=-\frac{7\mu_0}{800}\hat{z}$

Somando os dois campos:

$\vec{B}=\vec{B_1}+\vec{B_2}$

$\vec{B}=\frac{7\mu_0}{160}\hat{z}-\frac{7\mu_0}{800}\hat{z}$

$\vec{B}=\frac{35\mu_0}{800}\hat{z}-\frac{7\mu_0}{800}\hat{z}$

$\vec{B}=\frac{28\mu_0}{800}\hat{z}$

$\vec{B}=\frac{7\mu_0}{200}\hat{z}$

Assim temos que o campo resultante deste circuito é de $\vec{B}=\frac{7\mu_0}{200}\hat{z}$ T e aponta para fora da folha, pois é positivo.