Question

Na festa junina do colégio Marquês, situado em São Paulo, foi organizada uma gincana onde foram montadas três barracas, que foram chamadas de Tenda 1, Tenda 2 e Tenda 3. As três barracas vendiam os mesmos tipos de alimentação: cachorro quente, pastel e batata frita; cada uma dessas opções tinha o mesmo preço em todas as barracas. No fim da gincana o balanço feito sobre o consumo nas três barracas mostrou que:  Em Tenda 1 foram consumidos 28 cachorros quentes, 42 pastéis e 48 porções de fritas;  em Tenda 2 foram consumidos 23 cachorros quentes, 50 pasteis e 45 porções de fritas;  em Tenda 3 foram consumidos 30 cachorros quentes, 45 pastéis e 60 porções de fritas.  As Tendas 1, 2 e 3 lucraram R$ 102,00, R$ 95,00 e R$ 117,00 respectivamente. Qual o preço de cada cachorro quente, pastel e porção de fritas?


1. Estruturar um sistema de equações lineares que resolva o problema.

2. Utilizando operações-linha, escalone a matriz ampliada associada ao sistema linear e, analisando a matriz após o escalonamento, classifique o sistema quanto ao número de soluções.

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Vamos denotar por

$x = \text{preco do cachorro quente}$

$y = \text{preco do pastel}$

$z = \text{preco da batata frita}$

a) O sistema linear que queremos é composto por três equações da forma

$N^{\circ} \text{de cachorros quentes}\times x+N^{\circ} \text{de pasteis}\times y+N^{\circ} \text{de batatas fritas}\times z = \text{lucro da tenda},$

correspondentes ao balanço de cada tenda. Temos

$\begin{cases}28x+42y+48z = 102\\23x+50y+45z = 95\\30x+45y+60z = 117\end{cases}$

b) Podemos escrever esse sistema linear em forma matricial:

$\left[\begin{array}{ccc}28&42&48\\23&50&45\\30&45&60\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}x\\y\\z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}102\\95\\117\end{array}\right]$

Com isso, definimos a matriz ampliada, correspondente ao sistema linear, como sendo

$\left[\begin{array}{cccc}28&42&48&102\\23&50&45&95\\30&45&60&117\end{array}\right]$

Note que as três primeiras colunas formam uma matriz 3x3. No processo de escalonamento, interessa-nos apenas essa matriz. Queremos reduzi-la à forma mais simples possível (matriz diagonal). Para isso, manipulamos as linhas, segundo as seguintes operações, de modo a eliminar elementos fora da diagonal:

1. Multiplicar uma linha por um número
2. Somar ou subtrair duas linhas

Tente fazer isso.

Dica: Primeiramente, deixe a primeira coluna com apenas o primeiro elemento diferente de zero. Para um exemplo de como fazer isso, eliminaremos o elemento fora da diagonal correspondente à linha 2 e coluna 1:

• Subtraia a linha 3 da linha 2:

$\left[\begin{array}{cccc}28&42&48&102\\-7&5&-15&-22\\30&45&60&117\end{array}\right]$

• Multiplique a linha 2 por 4:

$\left[\begin{array}{cccc}28&42&48&102\\-28&20&-60&-88\\30&45&60&117\end{array}\right]$

• Some a linha 1 à linha 2:

$\left[\begin{array}{cccc}28&42&48&102\\0&62&-12&14\\30&45&60&117\end{array}\right]$

Elimine por um processo análogo o elemento da linha 3 e coluna 1, de modo a deixar não nulo apenas a o elemento da linha 1 e coluna 1.

Agora, aplique o processo anterior na coluna 2 para deixar não nulo apenas o elemento da linha 2. Analogamente, para a coluna 3, deixando não nulo apenas o elemento da linha 3.

Se conseguir deixar apenas um elemento não nulo em cada coluna (obtendo uma matriz diagonal), teremos uma única solução para x, y e z (basta lembrar da forma matricial do sistema linear e reescrevê-lo novamente). Nem sempre é possível deixar um elemento não nulo em cada coluna, pois pode ser que aconteça que a coluna inteira se anule. Neste caso, uma das variáveis x, y e z será "livre", no sentido de que ela não é possível de ser determinada pelo sistema linear, ou seja, ela pode assumir qualquer valor. Logo o sistema terá infinitas soluções.