Question

Na fazenda do Sr. Armando, o armazenamento de soja é feito em grandes silos. Como a safra deste ano superou as expectativas, foi necessário adquirir mais um silo para comportar os grãos. O silo atual tem a forma cilíndrica com eixo na vertical e uma altura de 5m, com capacidade para 50 mil litros de soja. Estima-se que a safra deste ano ultrapasse a capacidade suportada em 60%. O novo silo adquirido tem a forma de um cone com vértice para baixo, com raio r e altura H, conforme mostra a figura. Qual deverá ser a altura H (em metros) do novo silo para que o mesmo comporte exatamente o volume excedido e cujo raio r exceda o raio do silo antigo em 50%?

Answer 1

Boa tarde!

O volume do cilindro é dado através da multiplicação da área da base pela altura, no entanto, o enunciado já trouxe a capacidade do silo atual, o qual é cilíndrico e comporta 50 mil litros de soja ou 50.000L = 50m3, já que 1L = 0,001, com altura de 5 metros.

Pela fórmula do volume do cilindro temos que:

V = π * r² * h
50 = π * r²  * 5
50/5 = π * r²
10 = π * r²
10/π = r²

Estima-se que a safra deste ano ultrapasse a capacidade suportada em 60%, ou seja, 60% dos 50 m3 produzidos como capacidade máxima regularmente, logo temos que a o excedente que o novo silo deverá comportar é de: 0,6 * 50 = 30m3.

Esta é a capacidade que o novo silo deverá comportar, portanto, sabemos que o raio do novo silo equivale a 50% a mais do que o raio do silo antigo, ou seja 1,5r

A fórmula para encontrar o volume do cone é dada pela multiplicação da área da base pela medida da altura, depois dividir o resultado por três:

V = (π * r² * h) / 3, ou seja, é dada pela mesma fórmula do volume do cilindro dividido por 3, sendo assim, temos:

30 = (π * (1,5r)² * h)/3
90 = π * (2,25r)² * h
90/2,25 = π * r² * h
40/(π * r²) = h
Como r² = 10/π, substituindo temos:
40/(π * 10/π) = h
40/10 = h
h = 4 metros

Portanto, a altura do novo silo deve ser igual a 4 metros.

Abraços!