Question

Na Faculdade de Letras de uma Universidade, os alunos que ingressaram no início deste ano podiam cursar francês, italiano ou espanhol entre outras possibilidades. Denotamos por F o conjunto de alunos que escolheram francês, por I os que escolheram italiano e por E os que escolheram espanhol. Seja U o conjunto de todos os alunos que ingressaram este ano na Faculdade de Letras.

1 ) O número de alunos da Faculdade de Letras que ingressaram este ano que optaram por não fazer nenhum dessas três linguas é 500, 100 escolheram francês, 80 optaram por italiano e 50 por espanhol. O número dos que escolheram francês e espanhol foi 15, italiano e espanhol foi 20, francês e italiano foi 30. Finalmente, nenhum aluno optou pelas 3 simultaneamente.
Determine em termos dos conjuntos U, F, I e E, usando os dados acima e as propriedades correspondentes:

1 . 1 ) o número total de alunos que ingressaram no início deste ano. Justifique.
1 . 2 ) o número de alunos que optaram por francês mas não por italiano. Justifique.
1 . 3 ) o número dos alunos que escolheram por italiano junto com uma só das outras duas opções. Justifique.

Answer 1

Resposta:

Utilizar o Teorema da Inclusão/Exclusão de conjuntos.

Explicação passo a passo:

De acordo com os dados do problema temos:

n(F) = 100

n(I) = 80

n(E) = 50

n(F∩E) = 15

n(F∩I) = 30

n(I ∩E) = 20

n(F∩I∩E) = 0

Utilizando o Teorema da Inclusão/Exclusão:

n(F∪I∪E) = n(F) + n(I) + n(E) - n(F∩I) - n(F∩E) - n(I∩E) + n(F∩I∩E)

n(F∪I∪E) = 100 + 80 + 50 - 15 - 20 - 30 + 0

n(F∪I∪E) = 165

1.1) O número total de alunos que ingressaram é dado por:

n(F∪I∪E) + 500 = 165 + 500 = 665 alunos

1.2) O que está sendo pedido é:

n(F) - n(F∩I) = 100 - 30 = 70 alunos

1.3) A operação pedida neste item é:

n[(F∩I)∪(E∩I)] = 30 + 20 = 50 alunos