Na fabricação de certo produto, o lucro mensal de uma empresa, em milhares de reais, é dado por
L(x)= -3x(ao quadrado)/4 + 90x - 1500
sendo X o número de milhares de peças vendidas no mês. Determine:
a) o lucro mensal máximo na venda dessas peças
b) para valores de X que a empresa tem prejuízo, ou seja, L<0
c) em que o intervalo deve variar o número de peças vendidas a fim de que o lucro supere 1 milhão de reais. Use 24,5 para a raiz de 600.
Soluções para a tarefa
a) A parábola desta equação tem concavidade voltada para baixo, então seu valor máximo será dado pela coordenada y do vértice, dada pela equação:
Yv = -(b²-4ac)/4a
Yv = -(90² - 4*(-3/4)*(-1500))/4(-3/4)
Yv = R$1200 mil reais = R$1,2 milhão de reais
b) Devido a característica da parábola, o lucro negativo será dado para valores onde x fora do intervalo entre as raízes da função. Pela fórmula de Bhaskara, as raízes são x' = 20 e x'' = 100. Então a empresa terá prejuízo se x < 20 ou x > 100.
c) Para y = 1000 (Mil milhares de reais), temos:
1000 = -3x²/4 + 90x - 1500
2500 = -3x²/4 + 90x
-3x²/4 + 90x - 2500 = 0
As raízes são x' = 43,67 e x'' = 76,33. O lucro será superior a um milhão de reais quando x estiver no intervalo [44, 76].
Durante toda a questão teremos que trabalhar com a seguinte equações de segundo grau:
L (x) = -3x²/4 + 90x - 1500
Os termos são:
a = -3/4
b = 90
c = -1500
Resposta da A)
Como o termo a (que acompanha a variável quadrada) é negativo, podemos afirmar que a concavidade da parábola é voltada para baixo.
Assim, para encontrar o lucro mensal, precisamos definir o vértice, ou seja, onde o Y adquire valor máximo.
O Y do vértice é encontrado pela seguinte equação:
Yv = -(b²-4ac)/4a
Agora vamos substituir:
Yv = -(90² - 4*(-3/4)*(-1500))/4(-3/4)
Yv = R$1.200 mil reais
O lucro mensal máximo na venda dessas peças é R$1,2 milhão de reais
Resposta da B)
Como o eixo y é o eixo do lucro, e a parábola tem a concavidade voltada para baixo, podemos dizer que será negativo nos valores fora do intervalo do X. Ou seja, quando for menor que X1 e maior que X2.
Portanto, precisamos encontrar as duas raízes:
Bhaskara: Δ = b² - 4ac >> (90)² - 4 (-3/4) (-1500) = 3600
x = - b ± √Δ / 2a
x = -90 ± √3600 / 2 * (-3/4)
x1 = 100
x2 = 20
Os valores de X para que a empresa tenha prejuízo são < 20 e |> 100
Resposta da C)
Ele nos pergunta quais valores de X para que o Y seja maior que 1 milhão (1.000.000). Para facilitar, vamos usar o valor 1000 e depois fazemos a conversão.
1.000 = -3x²/4 + 90x - 1500
-3x²/4 + 90x - 1500 - 1000 = 0
-3x²/4 + 90x - 2500 = 0
Δ = b² - 4ac
Δ = (90)² - 4 (-3/4) * (-2500)
Δ = 8100 + 3 * (-2500)
Δ = 600
x = - (90) ± √600 / 2(-3/4)
As raízes que vamos encontrar são 43,6 e 76,3. Assim, a resposta será:
Para que o lucro supere 1 milhão de reais, o número de peças vendidas deve variar entre 44.000 e 76.000.
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