Question

Na expressão a/b + c/d = 29/30 as letras a, b, c e d representam números inteiros de 1 a 9?
Qual é o valor de a+b+c+d?

Answer 1

$\texttt{Ol\'a! :D}\\\rule{7cm}{0.01mm}$

Vamos partir dos princípios da adição de frações e do princípio de tudo pode ser feito na matemática, desde que regras não sejam infringidas.

Para somarmos frações, devemos assegurar que os denominadores ( parte de baixo ) são iguais. Tudo isso para que essa faça sentido. Vamos representar o problema que temos a resolver:

$\Large \tt \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{29}{30}$

Perceba que posso igualar os denominadores da seguinte maneira

$\Large \tt \frac{a}{b} \cdot \left( \frac{d}{d} \right)+ \frac{c}{d} \cdot \left( \frac{b}{b} \right) = \frac{29}{30}$

Note que sejam lá qual for o valor de b e de d, eu estarei multiplicando as frações por 1 e isso não vai alterar em nada, apenas transformei em uma fração equivalente. Continuando

$\Large \tt \frac{ad}{bd} + \frac{bc}{bd} = \frac{29}{30}$

Agora estamos lidando com denominadores iguais, isso quer dizer que posso somar as frações.

$\Large \tt \frac{ad + bc}{bd} = \frac{29}{30}$

No intervalo de 1 a 9, apenas b = 6 e d = 5 ou b = 5 e d = 6, visto que o produto é comutativo, ou seja, a ordem dos fatores não interfere no resultado.

Bom, os valores de b e d estão quase resolvidos, porém com eles pode-se testar valores de 1 a 9 que fazem o numerador ( parte de cima ) ser igual a 29.

Vamos testar d = 6 e b = 5, pensando em um valor a que multiplicado por 6 e somado a 5 multiplicado por um valor c tal que isso dê 29, podemos ver que somente a = 4 e c = 1 satisfazem, veja

$\Large \tt \frac{a \cdot 6 + 5 \cdot c}{5 \cdot 6} = \frac{4 \cdot6 + 5 \cdot 1}{5 \cdot 6} = \frac{29}{30}$

Note que, para d = 6 e b = 5, somente esses valores de a e c são possíveis.

Se você testar d = 5 e b = 6, verá que nenhuma configuração entre 1 e 9 fará a expressão ter 29/30 como resposta.

Então essa é a expressão que faz sentido:

$\Large \underline{ \boxed{ \tt \frac{ad + bc}{bd}=\frac{4 \cdot6 + 5 \cdot 1}{5 \cdot 6} = \frac{29}{30} }}$

Logo:

$\huge \red \therefore \\ \huge \red{\underline{\boxed{\begin{array}{c}\tt a + b + c + d = \: \: ? \: \: \\ \tt 4 + 6 + 1 + 5 = 16 \end{array} }}}$