Na etapa 1 de um procedimento, um quadrado de lado 1 cm é dividido em nove quadrados iguais e, da malha resultante, remove-se o quadrado central. Em seguida, na etapa 2, repete-se esse processo com cada um dos oito quadrados restantes. Na etapa n aplica-se o procedimento descrito a cada um dos quadrados conservados na etapa n -1. Com base nessas informações e sendo n um número muito grande, a soma das áreas dos quadrados removidos até a etapa n pode ser escrita como
Soluções para a tarefa
A soma das áreas dos quadrados removidos após muitíssimas etapas é da própria área total: 1 cm².
Para realizar este exercício vamos modelar seu comportamento e utilizar uma soma de progressão geométrica com infinitos termos.
Quantidade de quadrados retirados a cada etapa
Sempre que realizamos uma nova etapa obtemos a quantidade anterior de quadrados retirados multiplicada por 8. Seja n o número de etapas, então temos a seguinte sequência: 8º, 8¹, 8²... = 8ⁿ⁻¹
Área dos quadrados retirados a cada etapa
Sempre que realizamos uma nova etapa retiramos a área do quadrado retirado anteriormente multiplicada por 8/9. Seja n o número de etapas, então temos a seguinte sequência: 1/9, 8/81, ... = 8ⁿ⁻¹/9ⁿ
Soma dos quadrados retirados ao todo
Utilizando a expressão para a soma de uma p.g. para infinitos termos (Sn = a1 / (1-q)) temos, neste caso
Sn = (1/9) / (1 - 8/9)
Sn = (1/9) / (1/9) = 1
Aprenda mais sobre soma de progressões geométricas aqui:
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