Question

Na equipe de futsal de uma escola, observa-se a seguinte distribuição em relação à idade dos jogadores:
Idade: | N° de jogadores:
15. 2
16. 2
17. 3
18. 2
19. 1
20. 2
Será sorteada, aleatoriamente, uma dupla de jogadores que dará a entrevista. A média de idade dos jogadores e a quantidade de duplas distintas que podem ser formadas correspondem a?

Answer 1

Olá Mary,


Vamos organizar primeiro as idades:

(15, 15, 16, 16, 17, 17, 17, 18, 18, 19, 20, 20)

Tirando a média:

$\mathsf{\dfrac{15+15+16+16+17+17+17+18+18+19+20+20}{12}\approx 17,33}$

Como queremos saber a quantidade de duplas que podem ser formadas de forma distinta, ou seja, (a, b) é o mesmo aque (b, a). Se trata de um conjunto de 12 elementos tomados 2 a 2:

$\mathsf{C_{12,2}=\dfrac{12!}{(12-2)!2!}\Rightarrow C_{12,2}=\dfrac{12!}{10!2!}\Rightarrow C_{12,2}=\dfrac{\diagdown\!\!\!\!\!12\cdot11\cdot\diagup\!\!\!\!\!10!}{\diagup\!\!\!\!\!10!\cdot \diagdown\!\!\!\!2\cdot 1}}\\\\=\\\\\mathsf{C_{12,2}=6\cdot 11\Rightarrow \boxed{\mathsf{C_{12,2}=66}}}$

Portanto a média das idades dos jogadores é de aproximadamente 17,33 e a quantidade de duplas distintas que podem ser formada com esses jogadores é de 66 possibilidades.

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Answer 2

Vamos primeiro calcular a média das idades. Caso você não saiba, a média aritmética, é dada pela soma de x elementos, dividido por essa quantidade x. O que isso significa? Que se queremos saber a média aritmética de 5 números, calculamos a soma deles, e, depois, dividimos por 5, por exemplo.

Nesse caso, efetuaremos a soma das idades de 12 jogadores, sendo eles:
2 jogadores com 15 anos;
2 jogadores com 16 anos;
3 jogadores com 17 anos;
2 jogadores com 18 anos;
1 jogador com 19 anos;
2 jogadores com 20 anos; 
Agora, temos que as idades desses jogadores são: 15, 15, 16, 16, 17, 17, 17, 18, 18, 19, 20 e 20. Como já foi explicado anteriormente, vamos calcular a média aritmética, procedendo da seguinte maneira:

$\frac{15+15+16+16+17+17+17+18+18+19+20+20}{12} \approx17,33$

Assim, a média aritmética da idade desses jogadores, será de aproximadamente 17,33, pois o resultado dessa divisão, resultará na dízima periódica 17,333333....

Agora, partindo para a parte das duplas para a entrevista, nos encontramos na seguinte situação: Pode se passar pela cabeça de algumas pessoas, utilizar a permutação, mas observemos, que isso será inapropriado, pois isso irá contabilizar duas vezes para cada dupla, pois observemos, que as duplas (x,y) e (y,x), são a mesma coisa, ou seja, a ordem não importa. O que isso nos remete? Isso mesmo, combinação, ou seja, combinação de 12 elementos, agrupados 2 a 2. Para realizar tal procedimento, agimos da seguinte forma:
$C_{12,2}= \frac{12!}{(12-2)!2!} = \frac{12!}{10!2!} =\frac{12\cdot11\cdot10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}{10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1\cdot2\cdot1} =66$

Logo, podemos formar 66 duplas para essa entrevista.

Dúvidas? Comente.

Bons estudos! ;-)