Question

na equação x4 +2x2 -1 =0 quantas são as raizes reais?
a) quatro
b) tres
c) duas
D) nenhuma ​

Answer 1

Resposta:

resposta é a letra (c)

Explicação passo-a-passo:

x⁴ + 2x² - 1 = 0 ---- veja que x⁴ ( x²)². Assim, teremos:

(x²)² + 2x² - 1 = 0 ---- vamos fazer x² = y. Com isso, ficaremos assim:

(y)² + 2y - 1 = 0 --- ou apenas:

y² + 2y - 1 = 0 ----- se você aplicar Bháskara, vai encontrar as seguintes raízes:

y = [-b+-√(Δ)]/2a

Note que a equação acima tem os seguintes coeficientes:

a = 1 ----- (é o coeficiente de y²)

b = 2 ----- (é o coeficiente de y)

c = - 1 --- (é o coeficiente do termo independente)

Δ = b²-4ac = 2²-4*1*(-1) = 4+4 = 8 .

Assim, fazendo as devidas substituições na fórmula de Bháskara, teremos:

y = [-2+-√(8)]/2*1

y = [-2+-√(8)]/2 --- note que 8 = 2³ = 2².2 . Assim:

y = [-2+-√(2².2)]/2 ---- veja que o "2" que está ao quadrado sai de dentro da raiz, ficando assim:

y = [-2+-2√(2)]/2 ---- dividindo-se numerador e denominador por "2", iremos ficar apenas com:

y = [-1+-√(2)] --- ou, o que é a mesma coisa:

y' = -1-√(2)

y'' = -1+√(2)

Mas lembre-se que fizemos x² = y. Então:

i) para y = -1-√(2), teremos:

x² = -1 - √(2)

x =+-√[-1-√(2)] ---- impossível, pois aqui iríamos ter raiz negativa e, nos reais isto não existe. Logo, descartaremos a raiz y = -1-√(2). 

ii) para y = -1+√(2), teremos:

x² = -1+√(2)

x = +-√[-1+√(2)] <--- Raiz válida, pois √(2) está positiva. Logo, ficaremos apenas com a raiz y = -1+√(2).

iii) Assim, as raízes reais são apenas as seguintes:

x' = -√[-1+√(2)]

e

x'' = √[-1+√(2)]