Question

Na equação x²+bx+1=0 suponha que b>2. A soma dos inversos dos quadrados das raízes dessa equação é:

A) b²+1
B) 3b²-1
C) 1-b
D) b²-2
E) 3-b²

Answer 1

Resposta:

alternativa D) $b^{2} - 2$

Explicação passo-a-passo:

Olá amigo(a), tudo bem?

Vamos resolver este problema utilizando soma e produto:

Soma:      $x_{1} + x_{2} = \frac{-b}{a}$    

Produto:  $x_{1} * x_{2} = \frac{c}{a}$    

Aplicando a equação do enunciado a fórmula

x²+bx+1=0

a = 1

b = b

c = 1

Soma:      $x_{1} + x_{2} = -b$    

Produto:  $x_{1} * x_{2} = 1$  

Soma dos inversos dos quadrados das raízes:

$\frac{1}{(x_{1}) ^{2} } + \frac{1}{(x_{2}) ^{2} }$

MMC entre $(x_{1})^{2}$ e $(x_{2})^{2}$ será: $(x_{1} * x_{2})^{2}$

$\frac{(x_{2})^{2} + (x_{1})^{2} }{(x_{1} * x_{2})^{2}}$

Substituindo $x_{1} * x_{2} = 1$  

$\frac{(x_{2})^{2} + (x_{1})^{2} }{1^{2}}$

$\frac{(x_{2})^{2} + (x_{1})^{2} }{1}$

${(x_{2})^{2} + (x_{1})^{2}$

Reescrevendo isso como um produto notável ${(x_{2})^{2} + (x_{1})^{2}$ :

Produto notável $(a + b)^{2} = a^{2} + b^{2} + 2*a*b$

$(x_{2} + x_{1})^{2} - 2 * x_{2} * x_{1}$

Relembrando que

$x_{1} + x_{2} = -b$    

$x_{1} * x_{2} = 1$  

Substituindo:

$(x_{2} + x_{1})^{2} - 2 * x_{2} * x_{1}$

$(-b)^{2} - 2 * 1$

$b^{2} - 2$

Qualquer dúvida estou a disposição!