Matemática, perguntado por sarahalanys8373, 1 ano atrás

Na equação x^5-2x^4+x^3+x^2-2x+1=0, o número 1 é raiz

Soluções para a tarefa

Respondido por robertocarlos5otivr9
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Se 1 é raiz de x^5-2x^4+x^3+x^2-2x+1=0, então esse polinômio é divisível por x-1

Utilizando o dispositivo de Briot-Ruffini:

1~~~|~~~1~~~~~~-2~~~~~~1~~~~~~1~~~~~~-2~~~|~~~1\\''~~~|~~~1~~~~~~-1~~~~~~0~~~~~~1~~~~~~-1~~~|~~~0

Observe que o resto dessa divisão é zero. Assim, 1 é raiz simples, pelo menos.

q_{1}(x)=x^4-x^3+x-1

Dividindo q_{1}(x) por x-1:

1~~~|~~~1~~~~~~-1~~~~~~0~~~~~~1~~~|~~-1\\''~~~|~~~1~~~~~~~~~0~~~~~~~0~~~~~~1~~~|~~~0

Note que o resto dessa divisão é zero. Com isso, podemos afirmar que 1 é raiz dupla, no mínimo.

q_{2}(x)=x^3+1

Dividindo q_{2}(x) por x-1:

1~~~|~~~1~~~~~~0~~~~~~0~~~|~~~1\\''~~~|~~~1~~~~~~1~~~~~~1~~~|~~~2

Veja que o resto dessa divisão não é zero, logo 1 não é raiz tripla.

Desse modo, x^5-2x^4+x^3+x^2-2x+1=(x-1)^2\cdot(x^3+1), ou seja, o número 1 é raiz dupla.
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