Question

Na equação x^(4) +2x^(2) -1 = 0, quantas são raízes reais?
a) ( ) Quatro b) ( ) Três c) ( ) Duas d) ( ) Nenhuma

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Josef, que a resolução é simples.
Pede-se o número de raízes reais da seguinte função:

x⁴ + 2x² - 1 = 0 ---- veja que x⁴ ( x²)². Assim, teremos:
(x²)² + 2x² - 1 = 0 ---- vamos fazer x² = y. Com isso, ficaremos assim:
(y)² + 2y - 1 = 0 --- ou apenas:
y² + 2y - 1 = 0 ----- se você aplicar Bháskara, vai encontrar as seguintes raízes:

y = [-b+-√(Δ)]/2a

Note que a equação acima tem os seguintes coeficientes:

a = 1 ----- (é o coeficiente de y²)
b = 2 ----- (é o coeficiente de y)
c = - 1 --- (é o coeficiente do termo independente)
Δ = b²-4ac = 2²-4*1*(-1) = 4+4 = 8 .

Assim, fazendo as devidas substituições na fórmula de Bháskara, teremos:

y = [-2+-√(8)]/2*1
y = [-2+-√(8)]/2 --- note que 8 = 2³ = 2².2 . Assim:
y = [-2+-√(2².2)]/2 ---- veja que o "2" que está ao quadrado sai de dentro da raiz, ficando assim:

y = [-2+-2√(2)]/2 ---- dividindo-se numerador e denominador por "2", iremos ficar apenas com:

y = [-1+-√(2)] --- ou, o que é a mesma coisa:

y' = -1-√(2)
y'' = -1+√(2)

Mas lembre-se que fizemos x² = y. Então:

i) para y = -1-√(2), teremos:

x² = -1 - √(2)
x =+-√[-1-√(2)] ---- impossível, pois aqui iríamos ter raiz negativa e, nos reais isto não existe. Logo, descartaremos a raiz y = -1-√(2). 

ii) para y = -1+√(2), teremos:

x² = -1+√(2)
x = +-√[-1+√(2)] <--- Raiz válida, pois √(2) está positiva. Logo, ficaremos apenas com a raiz y = -1+√(2).

iii) Assim, as raízes reais são apenas as seguintes:

x' = -√[-1+√(2)]
e
x'' = √[-1+√(2)]

Logo, como se vê, iremos ter apenas duas raízes reais. Assim, a resposta correta é a opção "c" que informa:

c) duas <--- Esta é a resposta.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.