Question

Na equacao x^2 + (k+2)*x + k + 10=0, a soma das raizes é igual ao produto delas.Obtenha essas raizes.

Answer 1

Numa equação de 2° grau cujas raízes são x' e x'', podemos escrevê-la da seguinte forma.

(x - x') * (x - x'') = 0

Desenvolvendo a equação acima, temos que:

(x - x') * (x - x'') = 0
x² - x''*x - x'*x + x'*x'' = 0
x² - (x' + x'')*x + x'*x'' = 0

Na equação acima, temos que:

a = 1
b = -(x' + x'')
c = x' * x''

Portanto, numa equação cujo coeficiente a vale 1, o coeficiente b é a soma das raízes negativas e coeficiente c é a multiplicação das raízes.

Tomando agora a equação dada, temos que:

x² + (k + 2)*x + k + 10 = 0

a = 1
b = k + 2 ⇒ -(x' + x'') = k + 2 ⇒ x' + x'' = -k - 2
c = k + 10 ⇒ x' * x'' = k + 10

Portanto, temos que a soma das raízes é "-k - 2" e a multiplicação das raízes é "k + 10". Como o enunciado diz que a soma e a multiplicação são iguas, vamos determinar o valor de k

x' + x'' = x' * x''
-k - 2 = k + 10
-2 - 10 = k + k
-12 = 2k
-12 / 2 = k
k = -6

Vamos substituir o valor de "k = -6" na equação e obter suas raízes.

x² + (k + 2)*x + k + 10 = 0
x² + ((-6) + 2)*x + (-6) + 10 = 0
x² + (-4)*x - 6 + 10 = 0
x² - 4x + 4 = 0

a = 1
b = -4
c = 4

Δ = b² - 4ac
Δ = (-4)² - 4 * 1 * 4
Δ = 16 - 16
Δ = 0

x' = (-b + √Δ) / 2a
x' = (-(-4) + √0) / (2 * 1)
x' = (4 + 0) / 2
x' = 4 / 2
x' = 2

x'' = (-b - √Δ) / 2a
x'' = (-(-4) - √0) / (2 * 1)
x'' = (4 - 0) / 2
x'' = 4 / 2
x'' = 2

Portanto as raízes são:
x' = 2     e       x'' = 2

De fato, temos que:
x' + x'' = 2 + 2 = 4
x' * x'' = 2 * 2 = 4