Question

na equação $(k+2) x^{2} -5x+3=0$ uma das raizes, é igual ao inverso da outra. Nessas condições calcule o valor de k

Answer 1

Olá :)

Têm-se a equação:

$\mathtt{(k+2) x^{2} -5x+3=0}$

Com, $k + 2 \ne 0 \: \: \Rightarrow \: \underline{k \ne -2}$.

Calculando o discriminante, temos:

$\Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 3 (k + 2) \\ \Leftrightarrow \Delta = 25 -12k - 24 \\ \Leftrightarrow \Delta = 1 - 12k$

Aplicando Bhaskara, têm-se:

$\Leftrightarrow x_{1,2} = \dfrac{-(-5) \pm \sqrt{1 - 12k} }{2(k + 2)} \\ \\ \Leftrightarrow x_{1,2} = \dfrac{5 \pm \sqrt{1 -12k} }{2(k + 2)} \\ \\ \\ \large{\begin{cases} x_{1} = \dfrac{ 5 + \sqrt{1 -12k} }{2(k + 2)} \\ \\ x_{2} = \dfrac{ 5 - \sqrt{1 -12k} }{2(k + 2)} \end{cases}}$

Uma das raízes é equivalente ao inverso da outra, matematicamente:

$\large{x_1 = \dfrac{1}{x_2} }$

Logo,

$\Leftrightarrow \dfrac{5 + \sqrt{1 -12k} }{2(k + 2)} = \dfrac{2(k+2)}{5 + \sqrt{1 -12k} } \\ \\ \Leftrightarrow 25 - (1 - 12k) = 4(k + 2)^2 \\ \\ \Leftrightarrow 24 + 12k = 4k^2 + 16 + 16 \\ \\ \Leftrightarrow 4k^2 + 4k - 8 = 0 \\ \Rightarrow k^2 + k - 2 = 0$

Fatorando, têm-se:

$\Leftrightarrow (k + 2)(k - 1) = 0 \\ \\ \begin{cases} k + 2 = 0 \\ k - 1 = 0 \end{cases} \\ \\ \\ \large{ \begin{cases} k = -2 \: \: \: \: \mathtt{(imposs \'i vel )} \\ \\ \underline{k = 1} \: \: \: \: \: \: \: \mathtt{(poss \'ivel )} \end{cases}}$

Obs: O " k " tem de ser diferente de - 2 , sendo assim, têm-se como solução 1.

Solução:

$\boxed{\boxed{\boxed{ k = 1 }}} }$



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