Question

Na equação $4x^{2} -2(k-1)x-1=0$, as raízes são opostas ou simétricas. Nessa condições, qual é o valor de k?

Answer 1

Olá, boa tarde.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre equações algébricas.

De acordo com o Teorema fundamental da Álgebra, demonstrado por Gauss, uma equação algébrica de grau $n$ de coeficientes reais deve apresentar $n$ raízes.

Então seja a equação de grau $2$: $4x^2-2(k-1)x-1=0$. Sabemos que ela admite duas raízes opostas ou simétricas e devemos determinar o valor de $k$ nestas condições.

Dada uma equação quadrática completa $ax^2+bx+c=0,~a\neq0$, ao dividirmos ambos os lados da equação por $a$, teremos: $x^2+\dfrac{b}{a}x +\dfrac{c}{a}=0$.

De acordo com as Relações de Girard, podemos reescrever esta equação como: $x^2-Sx+P=0$, em que $S$ é a soma das raízes da equação e $P$ é o produto das raízes.

Assim, dividindo ambos os lados da nossa equação por $4$, teremos:

$x^2-\dfrac{2(k-1)}{4}x-\dfrac{1}{4}=0$

Sendo $x_1$ e $x_2$ as raízes desta equação, dado que elas são opostas, deduz-se que $x_1=-2x_2$. Com isso, sua soma $S=x_1+x_2=0$

Utilizando a relação de Girard para soma na equação que encontramos acima, temos que:

$\dfrac{2(k-1)}{4}=0$

Simplifique a fração

$\dfrac{k-1}{2}=0$

Multiplique ambos os lados da equação por $2$

$k-1=0$

Some $1$ em ambos os lados da equação

$k=1~~\checkmark$

Este é o valor de $k$ que satisfaz a condição do enunciado.

Por curiosidade, ao substituírmos $k=1$, obtemos a equação:

$x^2-\dfrac{1}{4}=0$

Ao resolvermos esta equação quadrática, obtemos:

$x^2=\dfrac{1}{4}\\\\\\ x =\pm\sqrt{\dfrac{1}{4}}\\\\\\ x =\pm\dfrac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}\\\\\\ x =\pm\dfrac{1}{2}$

Demonstrando assim que as raízes são opostas e sua soma é igual a zero.