Question

Na equação (k + 2)x² - 12x + 6 = 0, com k diferente de -2, uma das raízes é o inverso da outra
Determine o valor de k.
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Answer 1

Resposta: k = 4 (quatro)

Explicação passo-a-passo:

Perceba que ambas as raízes são diferentes de 0 (zero), pois para que uma equação quadrática (do segundo grau) tenha uma raiz nula, deve-se ter:

ax² + bx + c = 0 e 0 é raiz =>

0 + 0 + c = 0 =>

c = 0

Acarretando que o termo independente da incógnita x (o coeficiente c) deve ser nulo (o que não ocorre na equação proposta). Também é sabido que dado um número real ou complexo distinto de zero, o produto dele pelo seu inverso (inverso multiplicativo) é sempre constante e igual a 1 (os famosos numerais inversos multiplicativos, cujo produto é sempre um). Assim como foi dito, todo número real ou complexo (não nulo) tem o seu inverso multiplicativo. Assim sendo, chamando uma das raízes de r, a outra será 1/r. Logo:

r(1/r) = 1 e r(1/r) é o produto das raízes =>

1 = 6/(k + 2) * e k difere de - 2 (informado no enunciado)

k + 2 = 6 =>

k = 6 - 2 =>

k = 4

* É sabido que o produto das raízes da equação quadrática ax² + bx + c = 0 é c/a. Explicando o porquê da relação 1 = 6/(k + 2).

Abraços!