Question

Na equação a seguir, determinar a e b reais. Sabe-se que i=√-1

Answer 1

Olá.

 

Para resolver essa questão, devemos resolver o determinante.

 

Temos o determinante:

 

$b+2i=\begin{vmatrix}1&(a+3i)&i^8\\0&(a+2i)&-3\\0&(1-i)&i^3\end{vmatrix}$

 

O primeiro passo que adotarei é deixar as potências de i em sua forma reduzida, seguindo o padrão:

 

$\begin{array}{cclclcl}1&=&i^0&=&i^4&=&i^8\\i&=&i^1&=&i^5&=&i^9\\-1&=&i^2&=&i^6&=&i^{10}\\-i&=&i^3&=&i^7&=&i^{11}\end{array}$

 

Substituindo as duas potências, teremos:

 

$b+2i=\begin{vmatrix}1&(a+3i)&i^8\\0&(a+2i)&-3\\0&(1-i)&i^3\end{vmatrix}\\\\\\ b+2i=\begin{vmatrix}1&(a+3i)&1\\0&(a+2i)&-3\\0&(1-i)&-i\end{vmatrix}$

 

Agora, temos que desenvolver o determinante.

 

$\textsf{--------------------------------------------------}$

 

Para resolver um determinante 3x3, é bom repetirmos as duas primeiras colunas no lado direito, relacionando os termos da maneira que demonstro abaixo:

 

$D=\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}\begin{matrix}a&b\\d&e\\g&h\end{matrix}\\\\\\ aei+cdh+bfg-bdi-ceg-afh$

 

Em anexo ilustrei esse mesmo de uma maneira mais “didática”.

 

$\textsf{--------------------------------------------------}$

 

Seguindo o que foi mostrado, vamos ao desenvolvimento. Nos casos em que a multiplicação resulta em 0 (pois todo número multiplicado a zero é zero), simplesmente anulo e coloco 0. Vamos aos cálculos.

 

$b+2i=\begin{vmatrix}1&(a+3i)&1\\0&(a+2i)&-3\\0&(1-i)&-i\end{vmatrix}\\\\\\ b+2i=\begin{vmatrix}1&(a+3i)&1\\0&(a+2i)&-3\\0&(1-i)&-i\end{vmatrix}\begin{matrix} 1&(a+3i)\\0&(a+2i)\\0&(1-i)\end{matrix}\\\\\\ b+2i=1\cdot(a+2i)\cdot(-i)+0+0-0-\left[(1-i)(-3)(1)\right]-0\\\\ b+2i=(a+2i)(-i)-\left[(1-i)(-3)\right]\\\\ b+2i=-ai-2i^2-\left[-3+3i\right]\\\\ b+2i=-ai-2i^2+3-3i$

 

Substituindo a potência, teremos:

 

$b+2i=-ai-2i^2+3-3i\\\\ b+2i=-ai-2(-1)+3-3i\\\\ b+2i=-ai-3i+2+3\\\\ b+2i=-ai-3i+5\\\\ b+2i=(-ai-3i)+5$

 

Na última linha, separei valores que acompanham i e o que é puramente real. Igualando valores, teremos:

 

$b+2i=(-a-3)i+5\\\\\\ b=5\\\\\\ 2=-a-3\\\\ a=-3-2\\\\ a=-5\\\\\\\begin{cases}a=-5\\ b=5\end{cases}$

 

Quaisquer dúvidas, deixe nos comentários.

Bons estudos$.$