Question

Na equação 4x²-(p+1)x+(p-2)=0, determine os valores de p, para que a equação tenha raízes reais iguais?

Answer 1

Bom dia,

Para que tenha duas raízes reais iguais, o Δ tem que ser igual a zero

a =  4   ;      b = - ( p + 1 )       ;       c =  p - 2

Δ = b ² - 4 * a * c 

Δ = [ - ( p + 1 ) ] ² - 4 * 4 * ( p - 2 )

Δ = ( p + 1 ) ² - 4 * 4 * ( p - 2 )

Δ = p ² + 2 p  +1 - 16 p + 32

Δ = p ² - 14 p  + 33

Agora como temos no Δ um polinómio do 2º grau vamos saber quais
as suas raízes

p ² - 14 p  + 33 = 0

Δ = 196 - 4 * 1 * 33

Δ = 196 - 132 

Δ = 64

√Δ = 8   

Método de Bhaskara

p ' = (14 + 8 ) / 2

p ' = 11

p '' = ( 14 - 8 ) / 2

p '' = 3

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Verificações :

p = 11

4 x ² - ( 11 + 1 ) x + 11 - 2 = 0

⇔ 4 x ² -12 x + 9 = 0

No primeiro membro temos um caso notável da multiplicação

⇔ ( 2 x ) ² - 2 * 2 x * 3  + 3 ² = 0

⇔ ( 2x - 3 ) ² = 0

⇔ 2 x - 3 = 0    ∨  2 x - 3 = 0   

⇔ x = 3 / 2            satisfaz , tem raiz real dupla ( duas raízes iguais )

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p = 3

4 x ² - ( 3 + 1 ) x + 3 - 2 = 0

⇔ 4 x ² - 4 x + 1  = 0

No primeiro membro temos um caso notável da multiplicação

⇔ ( 2 x ) ² - 2 * 2 x * 1  + 1 ² = 0

⇔ ( 2 x - 1 ) ² = 0

⇔ 2 x - 1 = 0    ∨  2 x - 1 = 0   

⇔ x = 1 / 2            satisfaz , tem raiz real dupla ( duas raízes iguais )

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Resposta :

Valores de p, para que a equação tenha raízes reais iguais, são  3 e 11
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Nota :         sinal   ( * ) é multiplicação  ;              sinal  ( / )   é divisão   
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Espero ter ajudado.  Ensinando devidamente o que sei.Procuro  explicar como se faz e não apenas apresentar rápidas soluções.
Esforçando-me por entregar a  Melhor  Resposta  possível.
Qualquer dúvida, envie-me comentário ou mensagem. Bom estudo