Question

Na Equação

30(x+4)! = 3
------------
(x+6)!

o valor de x é:

Preciso entender como funciona essa conta passo a passo, estou estudando para prova e não consigo desenvolver até certo ponto.

Obrigado!

Answer 1

$\texttt{Lembre que }w!=w\times (w-1)\times (w-2)\times \cdots \times(w-n)!\\ \forall n\in \mathbb N\\ \\ \\ \dfrac{30(x+4)!}{(x+6)!}=3\\ \\ \\ \dfrac{30(x+4)!}{(x+6)(x+6-1)(x+6-2)!}=3\\ \\ \\ \dfrac{30(x+4)!}{(x+6)(x+5)(x+4)!}=3\\ \\ \\ \dfrac{30}{(x+6)(x+5)}=3\\ \\ \\ \dfrac{10}{(x+6)(x+5)}=1\\ \\ \\ (x+6)(x+5)=10\wedge x\notin\{-6,-5\}\\ \\ \\ x^2+11x+30=10\\ \\ x^2+11x+20=0\\ \\ \texttt{Ent\~ao }x\notin \mathbb N\texttt{ mas se faze issto:}$

$\dfrac{30\Gamma(x+5)}{\Gamma(x+7)}=3\\ \\ \\ \texttt{e aplica esta propiedade: }\Gamma (z+1)=z\Gamma(z)\texttt{ent\~ao}\\ \\ \dfrac{30\Gamma(x+5)}{\Gamma[(x+6)+1]}=3\\ \\ \\ \dfrac{30\Gamma(x+5)}{(x+6)\Gamma(x+6)}=3\\ \\ \\ \dfrac{30\Gamma(x+5)}{(x+6)(x+5)\Gamma(x+5)}=3\\ \\ \\ \dfrac{30}{(x+6)(x+5)}=3\\ \\ \\ x^2+11x+20=0\\ \\ \boxed{x=\dfrac{22\pm\sqrt{41}}{2}}\\ \\ \\ \texttt{Note que se }z\in \mathbb N \Longrightarrow \Gamma (z)=(z+1)!$