Question

Na equaçao 2x ao cubo-5x ao quadrado+kx-1, a media aritmetica de duas raizes é igual ao dobro da terceira raiz. Determine o valor de k

Answer 1

2x^3-5x^2+kx-1 Vamos chamar as raízes de "a","b" e "c". Temos que: (a+b)/2=2c a+b=4c Vamos calcular as raízes desse polinômio pelos divisores inteiros do termo independente.Neste caso,o termo independente é -1 e seus divisores inteiros são :-1,1. Suponhamos que -1 seja a raiz: 2*(-1)^3-5*(-1)^2+k*(-1)-1=0 -2-5-k-1=0 -k-8=0 k=-8 *=vezes Logo,se -1 for raiz,k será igual a -8.Para comprovar o valor de k,vamos substituí-lo no polinômio e calcular as suas raízes.Se for verdade que a+b=4c,k será de fato igual a -8. 2x^3-5x^2-8x-1 Já vimos que -1 é raiz desse polinômio. Logo,ele será divisível por x+1.Depois de dividir estes dois polinômios (não vou fazer aqui porque a divisão sai feia e provavelmente você não entenderá,mas se quiser mostro nos comentários),encontraremos que : (2x^3-5x^2-8x-1)=(2x^2-7x-1)*(x+1) Agora,basta calcular as raízes de (2x^2-7x-1).Porém,seu delta dará 57 e suas raízes não serão inteiras,o que não satisfaria a+b=4c. Então,agora vamos supor que 1 seja a raiz: 2*1^3-5*1^2+k*1-1=0 2-5+k-1=0 k=4 2x^3-5x^2-4x-1 Já sabemos que esse polinômio é divisível por (x-1),já que 1 é raiz do mesmo.Ao fazermos essa divisão,encontraremos que : (2x^3-5x^2+4x-1)=(2x^2-3x+1)*(x-1) Calculando as raízes de 2x^2-3x+1: Delta=9-8=1 As raízes serão : (3+1)/4=1 (primeira raiz) (3-1)/4=1/2 (segunda raiz) Então temos que as raízes são 1,1 e 1/2.Verificando a relação : (1+1)/2=2*1/2 (verdadeiro) Mas vamos provar porque o "1" conta duas vezes.Temos que as raízes de (2x^2-3x+1) são 1 e 1/2.Logo,(x-1)*(x-1/2)=(2x^2-3x+1). (x-1)*(x-1/2)=(x-1)*(2x-1). Daí,(2x^3-5x^2+4x-1)=(x-1)*(2x-1)*(x-1)=(x-1)^2*(2x-1) Como (x-1)^2 desenvolvido é um trinômio quadrado perfeito, seu delta =0 ,e haverão duas raízes reais iguais (1 e 1). Daí, k=4.