Na empresa Futuro, a receita e o custo são dados, respectivamente pelas funções R(n)= - 4n²+60n-15 e C(n)= n²-40n+65, em reais em que não representa a quantidade de peças produzidas diariamente.sendo assim responda:
a)Qual será a função Lucro desta empresa?b)Essa empresa terá lucro máximo ou mínimo?
Qual será esse lucro?
c)Qual o número de peças produzidas quando essa empresa alcançar o lucro máximo?
d)A partir de quantas unidades produzidas, após o lucro máximo, essa empresa passa a ter prejuízo?e)Construa o gráfico da função lucro.(Dica:Essa construção pode ser feita no Geogebra ou em outra calculadora gráfica)
Soluções para a tarefa
a) A função lucro será: L(n) = - 5n² + 100n - 80.
> O lucro é a diferença entre receita e custo. Logo:
L(n) = R(n) - C(n)
L(n) = - 4n² + 60n - 15 - (n²- 40n + 65)
L(n) = - 4n² - n² + 60n + 40n - 15 - 65
L(n) = - 5n² + 100n - 80
b) A empresa terá lucro máximo, pois o valor do coeficiente a (a = - 5) da função é menor que 0 (a < 0). Então, o gráfico é uma parábola com concavidade para baixo e a função tem ponto máximo.
c) O lucro máximo será de 420.
> Para calcularmos o lucro máximo, basta usarmos a fórmula do Yv.
Yv = - Δ
4a
Δ = b² - 4ac
Δ = 100² - 4.(-5).(-80)
Δ = 10000 - 1600
Δ = 8400
Yv = - 8400
4.(-5)
Yv = 420
d) A partir de 11 unidades produzidas, após o lucro máximo, essa empresa passa a ter prejuízo.
Cálculo:
Precisamos achar o valor de n corresponde a esse lucro máximo. Para isso, basta usarmos a fórmula do Xv.
Xv = - b
2a
Xv = - 100
2.(-5)
Xv = - 100
- 10
Xv = 10
Produzindo 10 peças, o lucro será máximo.
Então, se produzir mais de 10 peças, a empresa passará a ter prejuízo.