Question

Na determinação do máximo divisor comum dos inteiros a e b, pelo Algoritmo de Euclides (ou método das divisões sucessiva), foram obtidos simultaneamente os quocientes 1, 1, 3, 12, 1, 2 e 2. Calcular a e b sabendo que m.d.c (a, b) = 1.

Answer 1

Os números a e b são, respectivamente, iguais a 637 e 363.

Considere o algoritmo de Euclides abaixo, com a informação dada que o máximo divisor comum de a e b é 1 e com os quocientes dados.

Sendo assim, temos que:

r₅ = 1.2 + 0

r₅ = 2.

Além disso, temos as seguintes equações:

r₄ = r₅.2 + r₆

r₃ = r₄.1 + r₅

r₂ = r₃.12 + r₄

r₁ = r₂.3 + r₃

b = r₁.1 + r₂

a = b.1 + r₁.

Como r₅ = 2, então:

r₄ = 2.2 + r₆

r₄ = 4 + r₆.

Note que r₆ = 1. Logo, r₄ = 5.

Consequentemente, obtemos os valores restantes, que são:

r₃ = 5.1 + 2 = 7;

r₂ = 7.12 + 5 = 89;

r₁ = 89.3 + 7 = 274;

b = 274.1 + 89 = 363;

a = 363.1 + 274 = 637.

Portanto, podemos concluir que mdc(637,363) = 1.