Question

Na definição de derivadas, a diferença ∆y e a diferencial dy são quantidades distintas, mas, para alguns valores de ∆x, podem ser aproximadamente iguais.

A pergunta é: que valores são esses que podem ser aproximadamente iguais? Obrigada.

Answer 1

Considere $f:\,D\subset\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ uma função e $I\subset D$ um intervalo aberto, tal que $f$ é diferenciável em $I.$

(Isto significa que em todos os pontos $x\in I,$ existe a derivada de $f$ em $x,$ ou seja, existe $f'(x)\;$ ).

Tomemos dois pontos $x_{1},\;x_{2}\in I,$ com $x_{2}>x_{1}.$ Desta forma, definimos

$\Delta x=x_{2}-x_{1}\\ \\ \Delta y = f(x_{2})-f(x_{1})$


As duas expressões acima são relativamente simples de interpretar. Representam apenas a diferença entre dois valores de $x,$ e a diferença entre os valores que $f$ assume nestes pontos.
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Como $f$ é diferenciável no intervalo aberto $I,$ definimos o diferencial de $f$ como sendo

$dy=f'(x)\,dx$

com $x \in I.$
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O fato é que, se $f$ é diferenciável em $I$ e $\Delta x$ for "pequeno" (mas quanto é que é pequeno??), podemos obter uma boa aproximação para o $\Delta y$ da seguinte forma:

$\Delta y\approx f'(x^{*})\cdot \Delta x$

ou ainda

$f(x_{2})-f(x_{1})\approx f'(x^{*})\cdot (x_{2}-x_{1})$

sendo $x^{*}$ algum ponto, tal que $x_{1}\leq x^{*}\leq x_{2}.$
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Obs.: Existe um teorema muito forte chamado Teorema do Valor Médio, que assumindo certas hipóteses sobre a função $f$, garante a existência de um ponto $x^{**}$ entre $x_{1}$ e $x_{2},$ tal que

$\Delta y=f'(x^{**})\cdot \Delta x\\ \\ f(x_{2})-f(x_{1})=f'(x^{**})\cdot (x_{2}-x_{1})$

(observe que não é mais uma aproximação, temos agora uma igualdade!!!)


As hipóteses sobre a $f$ para que isso aconteça são (condições suficientes):

$f$ seja contínua em $[x_{1},\;x_{2}]$ (intervalo fechado) e

$f$ seja diferenciável em $(x_{1},\;x_{2})$ (intervalo aberto).